Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和．當n≥2且n∈N^*時，．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；試用n和b_n表示b_n+1；
（2）若b₁=1，n∈N^*，證明：．
（3）當n∈N^*時，證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1，得a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*），所以a_n²=n，∴．
（2）當n≥2時，由，知，，綜上所述，對一切n∈N^*，不等式都成立．
（3）先把原式轉化為≤3^n-1，再用數(shù)學歸納法進行證明．
解答：（1）解：由S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1
得（S_n+1-S_n）²-（S_n-S_n-1）²=1，即a_n+1²-a_n²=1（n≥2，n∈N^*）
∴數(shù)列{a_n²}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列
于是a_n²=n，∴（4分）
（2）證明：當n≥2時，∵
∴．∴
∴（3分）
當n=1時，，不等式成立；
當n≥2時，由（1）得
∴
又當k≥2時，
∴
于是當n≥2時，
綜上所述，對一切n∈N^*，不等式都成立．（10分）
（3）證明：原式=≤3^n-1．
用數(shù)學歸納法證明：
①當n=2時，，結論成立．
②假設n=k時，結論成立，即≤3^k-1．
當n=k+1時，+≤3^k-1+≤3^k．結論也成立．
由①②知，原式=≤3^n-1．
點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要注意不等式知識的合理運用．