Question

已知f(n)=1+

1

23

+

1

33

+

1

43

…+

1

n3

，g(n)=

3

2

-

1

2n2

，n∈N^*．
（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，試比較f（n）與g（n）的大小關(guān)系；
（2）猜想f（n）與g（n）的大小關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=

9

8

，g(2)=

11

8

，
所以f（2）＜g（2）；
當(dāng)n=3時(shí)，f(3)=

251

216

，g(3)=

312

216

，
所以f（3）＜g（3）．
（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：
①當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)不等式成立，
即1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+

1

k3

＜

3

2

-

1

2k2

，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=f(k)+

1

(k+1)3

＜

3

2

-

1

2k2

+

1

(k+1)3

，
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1

2(k+1)2

-(

1

2k2

-

1

(k+1)3

)=

k+3

2(k+1)3

-

1

2k2

=

-3k-1

2(k+1)3k2

＜0，
所以f(k+1)＜

3

2

-

1

2(k+1)2

=g(k+1)．
由①、②可知，對(duì)一切n∈N^*，都有f（n）≤g（n）成立．