Question

在數列{a_n}與{b_n}中，a₁=1，b₁=4，數列{a_n}的前n項和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0，2a_n+1為b_n與b_n+1的等比中項，n∈N₊．
（1）求a₂，b₂的值；
（2）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）∵數列{a_n}與{b_n}中，a₁=1，b₁=4，nS_n+1-（n+3）S_n=0，
∴a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，解得a₂=3．
∵2a_n+1為b_n與b_n+1的等比中項，
∴4a₂=b₂b₁，b₁=4，解得b₂=9．
（2）由題設nS_n+1-（n+3）S_n=0，a₁=1，b₁=4，及a₂=3，b₂=9，
進一步可得a₃=6，b₃=16，a₄=10，b₄=25，
由此猜想a_n=，b_n=（n+1）²，n∈N₊．
先證a_n=，n∈N₊．
當n=1時，a₁=，等式成立．
當n≥2時用數學歸納法證明如下：
當n=2時，a₂=，等式成立．
假設n=k時等式成立，即a_k=，k≥2．
由題設，kS_k+1=（k+3）S_k，①
（k-1）S_k=（k+2）S_k-1．②
①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得ka_k+1=（k+2）a_k，
從而a_k+1=a_k=•
=．
這就是說，當n=k+1時等式也成立．
綜上可知，等式a_n=對任何的n∈N₊都成立．
再證b_n=（n+1）²，n∈N₊，
當n=1時，b₁=4，∴等式成立．
假設n=k時，等式成立，即b_k=（k+1）²，
那么n=k+1時，
∵（2a_k+1）²=b_k•b_k+1，
∴[2•]²=（k+1）²•b_k+1．
∴b_k+1=（k+2）²=[（k+1）+1]²．
∴n=k+1時等式成立．
∴綜上知，b_n=（n+1）²，n∈N₊．
分析：（1）由數列{a_n}與{b_n}中，a₁=1，b₁=4，nS_n+1-（n+3）S_n=0，知a₁+a₂-4a₁=0，a₁=1，由2a_n+1為b_n與b_n+1的等比中項，知4a₂=b₂b₁，b₁=4，由此能求出a₂，b₂的值．
（2）由題設nS_n+1-（n+3）S_n=0，a₁=1，b₁=4，及a₂=3，b₂=9，進一步可得a₃=6，b₃=16，a₄=10，b₄=25，由此猜想a_n=，b_n=（n+1）²，n∈N₊．先證a_n=，n∈N₊．再證b_n=（n+1）²，n∈N₊．
點評：本題考查數列中某一項的求法，考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化，注意合理地進行猜想和數學歸納法的合理運用．