Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.

    （1）過(guò)的左頂點(diǎn)引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成

的三角形的面積；（4分）

    （2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點(diǎn)，若l與圓相切，求證：

OP⊥OQ；（6分）

    （3）設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且OM⊥ON，

求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）定值為.

【解析】[解]（1）雙曲線，左頂點(diǎn)，漸近線方程：.

         過(guò)點(diǎn)A與漸近線平行的直線方程為，即.

         解方程組，得.                      ……2分

         所以所求三角形的面積1為.              ……4分

    （2）設(shè)直線PQ的方程是.因直線與已知圓相切，

         故，即.                                      ……6分

         由，得.

         設(shè)P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)，則.

         又，所以

        

，故OP⊥OQ.        ……10分

    （3）當(dāng)直線ON垂直于x軸時(shí)，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為.

      當(dāng)直線ON不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線ON的方程為（顯然），則直線OM的方程為.

         由，得，所以.

同理.                                       ……13分

         設(shè)O到直線MN的距離為d，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912433920266125/SYS201207091244188276705349_DA.files/image028.png">，

         所以，即d=.

         綜上，O到直線MN的距離是定值.                         ……16分