Question

已知曲線f（x）=x³-x²+bx+c（a≥0）在x=0處的切線方程y=1．
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）若過(guò)點(diǎn)（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同的切線，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用曲線f（x）=x³-x²+bx+c（a≥0）在x=0處的切線方程y=1，列出方程解出a、b、c，從而確定解析式；
（2）構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，數(shù)形結(jié)合解決．
解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=x²-ax+b，
∵曲線f（x）=x³-x²+bx+c（a≥0）在x=0處的切線方程y=1，
∴f′（0）=b=0，f（0）=c=1
∴b=0，c=1；
（2）由題意f′（x）=x2-ax．由于點(diǎn)（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點(diǎn)（0，2）在切線上，所以2-f（t）=f'（t）（-t），所以=0
設(shè)g（t）=，則
過(guò)點(diǎn)（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價(jià)于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）有三個(gè)相異的實(shí)根，即等價(jià)于方程
=0有三個(gè)相異的實(shí)根由于a＞0，故有

由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個(gè)相異的實(shí)根，則g（）=-+1＜0
∴a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用以及數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能力，對(duì)學(xué)生有一定的能力要求，有一定的難度