Question

設(shè){a_n}是一個公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，S₁₀=110且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明a₁=d；
（Ⅱ）求公差d的值和數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）設(shè)bn=

1

Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，可得

a

2 2

=a₁a₄，再由{a_n}是等差數(shù)列，可得a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，代入化簡可得；（Ⅱ）由等差數(shù)列的求和公式代入已知條件可得d的值，進(jìn)而可得a₁的值，可得通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得前n項(xiàng)和；（ III）可得bn=

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，裂項(xiàng)相消法可得其和．

解答：解：（Ⅰ）因a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，故

a

2 2

=a₁a₄，
又∵{a_n}是等差數(shù)列，有a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），

a

2 1

+2a₁d+d²=

a

2 1

+3a₁d，
化簡可得d²=a₁d，又∵d≠0，解得a₁=d
（Ⅱ）由等差數(shù)列的求和公式可得S₁₀=10a₁+

10×9

2

d，
化簡可得10a₁+45d=110，把a(bǔ)₁=d代入上式得55d=110，
解得d=2，∴a₁=2，∴a_n=a₁+（n-1）d=2n．
∴Sn=

n(2+2n)

2

=n2+n
（ III）由（Ⅱ）得bn=

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=b1+b2+…+bn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

，即Tn=

n

n+1

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬中檔題．