Question

【題目】已知，分別為雙曲線的左、右焦點，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為，，設四邊形的周長為，面積為，且滿足，則該雙曲線的離心率為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

本題首先可根據題意繪出圖像并設出點坐標為，然后通過圓與雙曲線的對稱性得出，再根據“點即在圓上，也在雙曲線上”聯立方程組得出，然后根據圖像以及可得和，接下來利用雙曲線定義得出以及，最后根據并通過化簡求值即可得出結果。

如圖所示，根據題意繪出雙曲線與圓的圖像，設，

由圓與雙曲線的對稱性可知，點與點關于原點對稱，所以，

因為圓是以為直徑，所以圓的半徑為，

因為點在圓上，也在雙曲線上，所以有，

聯立化簡可得，整理得，

，，所以，

因為，所以，，

因為，所以，

因為，聯立可得，，

因為為圓的直徑，所以,

即，，，

，，，所以離心率。