若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線存在自公切線的序號為
 
（寫出所有滿足題意的序號）
①y=3sinx+4cosx      
②x2-y2=1  
③y=x2-|x|
④|x|+1=
4-y2
．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：計算題,新定義
分析：①此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點的切線都重合或過圖象的最低點的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線；
②x2-y2=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
③去絕對值，配方，求出在x=±
1
2
處的切線，即可判斷；
④先變形，再結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
解答： 解：①y=3sinx+4cosx=5sin（x+∅），cos∅=
3
5
，sin∅=
4
5
，此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高（或低）點的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線；
 ②x2-y2=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
③y=x2-|x|=
(x-
1
2
)2-
1
4
，x≥0
(x+
1
2
)2-
1
4
，x＜0
 在 x=
1
2
處和 x=--
1
2
處的切線都是y=-
1
4
，
故③有自公切線；
④|x|+1=
4-y2
即x2+2|x|+y2-3=0，結(jié)合圖象可得，此函數(shù)沒有自公切線．
故答案為：①③．
點評：本題考查函數(shù)的自公切線的定義，函數(shù)圖象的特征，準確判斷一個函數(shù)是否有自公切線，是解題的難點．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的偶函數(shù)，并且滿足f（x+2﹚=-
1
f(x)
．
（1）當2≤x≤3時，f（x）=x，試求f（105.5）的值；
（2）當x∈[0，2]時，f（x）=2x-1 試求當x∈﹙6，10﹚時，f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列從集合A到集合B的對應中是映射的有
 
；其中一一映射的有
 
．
①A=N*，B={0，1，2，3，4}，f：除以5的余數(shù)；
②A={x|x≥0}，B={y|y≥0}，f：x→y=
x
；
③A=N*，B={-1，1，2，-2}，f：x→（-1）x
④A=Z，B=R，f：x→
2
x

⑤A=N*，B=R，f：x→
x2

⑥A={平面α內(nèi)的圓}，B={平面α內(nèi)的矩形}，f：A中圓的內(nèi)接矩形．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出以下幾個命題，其中正確的命題有
 
；（將所有正確命題的序號都填在橫線上）
①由曲線y=x2與直線y=2x圍成的封閉區(qū)域的面積為
4
3
；
②把5本不同的書分給4個人，每人至少1本，則不同的分法種數(shù)為
A
4
5
•
A
1
4
=480種；
③函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
④已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，且在（-∞，0]上是增函數(shù)，設(shè)a=f（ln
1
3
），b=f（log43），c=f（0.4-1.2），則c＜a＜b．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，an=-n2+λn，且{an}為遞減數(shù)列，則λ的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式
x-2
3-x
≥0的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)列{
2n+1
n2(n+1)2
}前n項的和為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C為三次函數(shù)f（x）=3x-x3的圖象，過點M（2，1）作曲線C的切線，可能的切線條數(shù)是（　　）
A、0B、1C、2D、3

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