Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（1-a）x²-（a-1）x-1-lnx
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線 y=-x-2013垂直，求實數(shù)a的值；
（2）當a=2時，求函數(shù)g（x）=f′（x） 的單調區(qū)間；
（3）試討論函數(shù)h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-）x+的單調區(qū)間．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=，
因為函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線 y=-x-2013垂直，所以f′（2）=2，
即4-2（1-a）-（a-1）-=2，解得a=-，
所以a=-．
（2）當a=2時，g（x）=f′（x）=，
g′（x）=2x+1+，因為x∈（0，+∞），所以g′（x）＞0，
故g（x）的單調增區(qū)間是∈（0，+∞）．
（3）h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a-）x+=，
h′（x）==3[x-（a-）]（x-），
①當a-=即a=1時，h′（x）=≥0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當a-＜≤0即a≤-時，由h′（x）＞0?x＞0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
③當a-≤0＜即-＜a時，由h′（x）＞0?x＞，由h′（x）＜0?0＜x＜，函數(shù)h（x）在（0，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增；
④當0＜a-＜即＜a＜1時，由h′（x）＞0?0＜x＜a-或x＞，函數(shù)h（x）在（0，a-），（，+∞）上單調遞增，在（a-，）上單調遞減；
⑤當a-＞即a＞1時，由h′（x）＞0?0＜x＜或x＞a-，函數(shù)h（x）在（0，），（a-，+∞）上單調遞增，在（，a-）上單調遞減；
綜上，當a=1時，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞增；當＜a＜1時，函數(shù)h（x）的增區(qū)間是（0，a-），（，+∞），減區(qū)間是（a-，）；
當-＜a時，函數(shù)h（x）的增區(qū)間是（，+∞），減區(qū)間是（0，）；當a≤-時，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＞1時，函數(shù)h（x）的增區(qū)間是（0，），（a-，+∞），減區(qū)間是（，a-）．
分析：（1）由函數(shù)f（x）在x=2處的切線與直線 y=-x-2013垂直，知f′（2）=2，由此可求a值；
（2）當a=2時，可求g（x），利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系可求其單調區(qū)間；
（3）求出h′（x），然后利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系解含參的二次不等式即可．
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，考查含參的二次不等式的解法及分類討論思想，難度較大．