Question

【題目】已知橢圓為參數(shù)）, 是上的動點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡的普通方程；

（2）利用橢圓的極坐標(biāo)方程證明為定值，并求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）最大值.

【解析】試題分析：（1）將的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)，由橢圓的參數(shù)方程，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)得出點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)可得軌跡的普通方程；（2）將橢圓的普通方程化為極坐標(biāo)方程，可設(shè)兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，由題中所給，可得結(jié)論．

試題解析：（1）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，由題意可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)，

則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù)）

消去可得的普通方程為.

（2）橢圓的普通方程為，化為極坐標(biāo)方程得，

變形得，

由，不妨設(shè)，所以

（定值），

易知當(dāng)時， 取得最大值.