Question

直角梯形ABCD，BC∥AD，BC=BA=

1

2

AD=m，AD⊥AB，VA⊥面ABCD
（1） 求證：VC⊥CD；
（2） 若 VA=

2

m，求VC與面VAD所成的角．

Answer 1

分析：（1）由題意先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求證的兩線的法向向量垂直；
（2）由題意利用空間向量的知識(shí)求出線面角是利用其直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系求出結(jié)果．

解答：證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖直角坐標(biāo)系
則A（0，0，0），D（0，2m，0），C（m，m，0），
（1）設(shè)V（0，0，n），則

VC

=(m，m，-n)

DC

=(m，-m，0)
∵

VC

•

DC

=m2-m2+0=0
∴VC⊥DC
（2）解：若VA=

2

m即

VC

=(m，m，-

2

m)
又面VAD的法向量為

n

=(1，0，0)
cos＜

VC

，

n

＞=

VC • n

| VC || n |

=

m

1×2m

=

1

2

∴＜

VC

，

n

＞=600
故VC與面VAD所成角為30⁰

點(diǎn)評(píng)：（1）此問(wèn)重點(diǎn)考查了利用空間向量證明線線垂直，及學(xué)生要準(zhǔn)確得證需準(zhǔn)確寫出個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)；
（2）此問(wèn)重點(diǎn)考查了利用空間向量求解線面角的值，還考查了直線的方向向量與平面的法向量之間成角與線米昂角之間的關(guān)系．