在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左焦點(diǎn)為,且橢圓的離心率.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任一點(diǎn),直線分別交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求出該定值;

(3)在橢圓上,是否存在點(diǎn),使得直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),且的面積最大?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

(1);(2);(3)存在點(diǎn)滿足題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為, 的面積為

【解析】

試題分析:(1)由題目給出的條件直接列關(guān)于的方程組求解的值,則橢圓方程可求;(2)由橢圓方程求出橢圓上下頂點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出橢圓上的動(dòng)點(diǎn),由直線方程的兩點(diǎn)式寫出直線的方程,取后得到的長(zhǎng)度,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上整體化簡(jiǎn)運(yùn)算可證出為定值;(3)假設(shè)存在點(diǎn),使得直線與圓,相交于不同的兩點(diǎn),且的面積最大,由點(diǎn)在橢圓上得到關(guān)于的關(guān)系式,由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離,由圓中的半徑,半弦長(zhǎng)和弦心距之間的關(guān)系求出弦長(zhǎng),寫出的面積后利用基本不等式求面積的最大值,利用不等式中等號(hào)成立的條件得到關(guān)于的另一關(guān)系式,聯(lián)立后可求解的坐標(biāo).

試題解析:

(1)由題意:,解得:

所以橢圓

(2) 由(1)可知,設(shè),

直線:,令,得;

直線:,令,得;

,

,所以,

所以

(3)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,則,即

設(shè)圓心到直線的距離為,則,且

所以

所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041804324265621583/SYS201404180433498906397724_DA.files/image042.png">,所以,所以

所以

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取得最大值

,解得

所以存在點(diǎn)滿足題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為

此時(shí)的面積為

考點(diǎn):本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn),則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
,
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(diǎn)(x,y)為整點(diǎn),下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號(hào)).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,下列函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn),若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn),則r=
 

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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