已知為半圓的直徑，，為半圓上一點，過點作半圓的切線，過點作于，交圓于點，．

（Ⅰ）求證：平分；
（Ⅱ）求的長．

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以圓為幾何背景考查線線平行、線線垂直的證明，證明角之間的相等關系以及四點共圓的證明及性質的應用，考查學生的轉化能力與化歸能力和推理論證能力.第一問，利用圓中的半徑長都相等得出和相等，而為圓的切線，所以，所以會得出，所以，最終得出與相等，所以得出平分；第二問，利用第一問的結論，得出，而共圓，可得到與相等，所以在與中，分別求出與，求出的長.
試題解析：（Ⅰ）連結，因為，所以，2分
因為為半圓的切線，所以，又因為，所以∥，
所以，，所以平分．4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，6分
連結，因為四點共圓，，所以，8分
所以，所以．10分
考點：1.內錯角相等；2.四點共圓；3.直角三角形中的計算.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，圓O的半徑OC垂直于直徑AB，弦CD交半徑 OA于E，過D的切線與BA的延長線交于M.
 
(1)求證：MD＝ME；
(2)設圓O的半徑為1，MD＝，求MA及CE的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知Rt△ABC的周長為48 cm，一銳角平分線分對邊為3∶5兩部分．

(1)求直角三角形的三邊長；
(2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：

(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，A、B是兩圓的交點，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長線與大圓的交點，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，是的一條切線，切點為，都是的割線，已知．

（1）證明：；
（2）證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,為△外接圓的切線,的延長線交直線于點,分別為弦與弦上的點,且,四點共圓.

(Ⅰ)證明:是△外接圓的直徑;
(Ⅱ)若,求過四點的圓的面積與△外接圓面積的比值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上兩點，AC與BD相交于點E，GC，GD是圓O的切線，點F在DG的延長線上，且。求證：
（Ⅰ）D、E、C、F四點共圓；       （Ⅱ）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，圓O的直徑AB＝4，C為圓周上一點，BC＝2，過C作圓O的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點D，E，求線段AE的長．

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