Question

已知向量，滿足=（-2sinx，cosx+sinx），=（cosx，cosx-sinx），函數(shù)，f（x）=•（x∈R）．
（I）將f（x）化成Asin（（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π的形式；
（Ⅱ）已知數(shù)列，求{a_n}的前2n項和S_2n．

Answer 1

解（Ⅰ）∵=（-2sinx，cosx+sinx），=（cosx，cosx-sinx），
∴=-2sinxcosx+（cos²x-sin²x）
=…（4分）
（Ⅱ）…（6分）
∵t=sin（nπ-）的最小正周期為T==2
∴n為奇數(shù)時，t=sin（nπ-）=；n為偶數(shù)時t=sin（nπ-）=-
因此，
…（8分）
又（2n-1）²-（2n）²=-4n+1…（10分）
所以
=
=
=…（12分）
分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡整理，即可得到；
（II）由（I）的結(jié)論，得，根據(jù)三角函數(shù)的周期，可得n為奇數(shù)時sin（nπ-）=；n為偶數(shù)時sin（nπ-）=-，因此S_2n=，結(jié)合等差數(shù)列的通項與求和公式，即可算出S_2n的表達式．
點評：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)，求函數(shù)f（x）的表達式并依此求數(shù)列的前n項之和．著重考查了三角恒等變換、等差數(shù)列的通項與求和等知識，屬于基礎(chǔ)題．