Question

已知函數(shù)f（x）滿足（其中為f（x）在點處的導數(shù)，C為常數(shù)）．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設函數(shù)g（x）=[f（x）-x³]•e^x，若函數(shù)g（x）在x∈[-3，2]上單調(diào)，求實數(shù)C的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由，
得．
取，得，
解之，得，
（2）因為f（x）=x³-x²-x+C．
從而，列表如下：

x				1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有極大值	↘	有極小值	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和（1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是．
（3）函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）•e^x=（-x²-x+C）•e^x，
有g(shù)′（x）=（-2x-1）e^x+（-x²-x+C）e^x=（-x²-3 x+C-1）e^x，
當函數(shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上為單調(diào)遞增時，
等價于h（x）=-x²-3 x+C-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
當函數(shù)在區(qū)間x∈[-3，2]上為單調(diào)遞減時，
等價于h（x）=-x²-3 x+C-1≤0在x∈[-3，2]上恒成立，
即△=9+4（c-1）≤0，解得c≤-，
所以c的取值范圍是c≥11或c≤-．
分析：（1）求出f（x）的導函數(shù)，令得到關(guān)于的方程，解方程求出的值．
（2）將的值代入f（x）的解析式，列出x，f′（x），f（x）的變化情況表，根據(jù)表求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=-x²-3 x+C-1，分函數(shù)遞增和遞減兩類，令h（x）≥0和≤0在[-3，2]上恒成立，求出C的范圍．
點評：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值、最值，一般列出x，f′（x），f（x）的變化情況表來解決；求函數(shù)在某區(qū)間函數(shù)單調(diào)性已知的問題，一般轉(zhuǎn)化為導函數(shù)大于等于或小于等于0恒成立問題．