Question

13．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$，（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$．設(shè)P為曲線C₁上的動點，則點P到C₂上點的距離的最小值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，C₂的普通方程為x+y=8，利用點到直線的距離公式，將橢圓的參數(shù)方程代入直線x+y=8中有求解d，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)即可．

解答 解：∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}}$，（α為參數(shù)），曲線C₂的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4\sqrt{2}$．
∴曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，C₂的普通方程為x+y=8，
利用點到直線的距離公式，將橢圓的參數(shù)方程代入直線x+y=8中有$d=\frac{{|\sqrt{3}cosα+sinα-8|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|2sin（α+\frac{π}{3}）-8|}}{{\sqrt{2}}}∈[3\sqrt{2}，5\sqrt{2}]$，
所以當(dāng)$sin（α+\frac{π}{3}）=1$時，d的最小值為$3\sqrt{2}$，此時點P的坐標(biāo)為$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓錐曲線與直線，三角函數(shù)性質(zhì)的求解，屬于綜合和問題，屬于中檔題．