設［a,b］是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個閉區(qū)間.如果對任意的x1、x2∈［a,b］且x1≠x2,有f()＞［f(x1)+f(x2)］,那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上為凸函數(shù);如果對任意的x1、x2∈［a,b］,且x1≠x2,有f()＜［f(x1)+f(x2)］,那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上為凹函數(shù).

(1)判定函數(shù)f(x)=x在定義域［0,+∞)上是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并證明你的結(jié)論.

(2)判定函數(shù)f(x)=2x在定義域(-∞,+∞)上是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并證明之.

解:(1)函數(shù)y=x的圖象如下:

由圖形易知,任給x1、x2∈［0,+∞),

＞(),

∴函數(shù)f(x)=在［0,+∞)上為凸函數(shù).

證明:任取x1、x2∈［0,+∞),且x1≠x2,

()2-［()］2

=(x1+x2-2)=()2＞0,

∴()2＞［()］2.

∴＞(),

即滿足f()＞［f(x1)+f(x2)］.

∴函數(shù)f(x)=x在［0,+∞)上是凸函數(shù).

(2)函數(shù)f(x)=2x圖象如下.

從圖形知在(-∞,+∞)上函數(shù)y=2x是凹函數(shù).

證明:任取x1、x2∈(-∞,+∞)且x1≠x2,

則2-()=-(-2)=-()2.

∵x1≠x2,∴≠,即.

∴-()2＜0,即2＜().

∴函數(shù)f(x)=2x在(-∞,+∞)上是凹函數(shù).


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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設a，b，λ都為正數(shù)，且a≠b，對于函數(shù)y=x2（x＞0）圖象上兩點A（a，a2），B（b，b2）．
（1）若
AC
=λ
CB
，則點C的坐標是
 
；
（2）過點C作x軸的垂線，交函數(shù)y=x2（x＞0）的圖象于D點，由點C在點D的上方可得不等式：
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于一般的三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a≠0）定義：設f''（x）是函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)y=f'（x）的導數(shù)．若f''（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”，現(xiàn)已知：g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），請解答下列問題：
（Ⅰ）．若y=g（x）是R上的增函數(shù)，求證a=b=c；
（Ⅱ）在（Ⅰ）．的條件下，求函數(shù)y=g（x）的“拐點”A的坐標，并證明函數(shù)y=g（x）的圖象關于“拐點”A成中心對稱．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設［a,b］是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的一個閉區(qū)間.如果對任意的x1、x2∈［a,b］且x1≠x2,有f()＞［f(x1)+f(x2)］,那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上為凸函數(shù);如果對任意的x1、x2∈［a,b］,且x1≠x2,有f()＜［f(x1)+f(x2)］,那么稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上為凹函數(shù).

(1)判定函數(shù)f(x)=在定義域［0,+∞)上是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并證明你的結(jié)論;

(2)判定函數(shù)f(x)=2x在定義域(-∞,+∞)上是凹函數(shù)還是凸函數(shù),并證明之.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：單選題

設函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c（b，c∈R），則下列命題中正確的是


  1. A.
    “b≥0”是“函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增”的必要非充分條件
  2. B.
    “b＜0，c＜0”是“方程f（x）=0有兩個負根”的充分非必要條件
  3. C.
    “c=0”是“函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)”的充要條件
  4. D.
    “c＞0”是“不等式數(shù)學公式對任意x∈R+恒成立”的既不充分也不必要條件

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