Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N+)
（1）求證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足4b1-1．42b2-1．43b3-1．4 nbn-1=(an+1)n求數(shù)列{{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若cn=

2n

anan+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（2）由條件可得2（b₁+2b₂+…+nb_n）=n²+2n，再寫一式，兩式相減，即可得結(jié)論；
（3）根據(jù)（1）中證明的結(jié)論，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，再求出其前n項(xiàng)和．

解答：（1）證明：∵a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1．∴a₁+1=1+1=2
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an=2n-1；
（2）解：∵數(shù)列{b_n}滿足4b1-1•42b2-1•43b3-1…4 nbn-1=(an+1)n
∴4b1+2b2+…+nbn-n=2n2
∴2（b₁+2b₂+…+nb_n）=n²+2n①
∴2[b₁+2b₂+…+（n-1）b_n]=（n-1）²+2（n-1）（n≥2）②
①-②，可得2nb_n=2n+1
∴bn=1+

1

2n

(n≥2)，n=1也滿足
∴數(shù)列{{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=1+

1

2n

；
（3）解：由（1）知a_n=2ⁿ-1，
故cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

∴S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

7

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）=1-

1

2n+1-1

．

點(diǎn)評(píng)：由數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造新的等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是常考知識(shí)點(diǎn)，特別注意新數(shù)列的首項(xiàng)，裂項(xiàng)求和是�？紨�(shù)列求和的方法，屬于中檔題．