Question

設(shè)集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，x∈R}，
（1）若A∩B=A∪B，求實數(shù)a的值；
（2）若A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）A={x|x²+4x=0，x∈R}={0，-4}
若A∩B=A∪B，則A=B，
則有a+1=2且a²-1=0，
解可得a=1
（2）若A∩B=B，則B⊆A
∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}；
①當(dāng)B=∅時，△=[2（a+1）]2-4•（a²-1）＜0?a＜-1
②當(dāng)B={0}時，?a=-1
③當(dāng)B={-4}時，?a不存在

④當(dāng)B={0，-4}時，?a=1
∴a的取值范圍為（-∞，-1]∪{1}．
分析：（1）解x²+4x=0可得集合A，又由A∩B=A∪B可得A=B，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0的兩根為0、-4，由根與系數(shù)的關(guān)系可得關(guān)于a的方程，解可得答案；
（2）根據(jù)題意，由A∩B=B可得B⊆A，進(jìn)而可得B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}，分別求出a的值，綜合可得答案．
點評：本題考查集合間的相互關(guān)系，涉及參數(shù)的取值問題，解（2）時，注意分析B=∅的情況．