Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：；

（3）判斷曲線與是否存在公切線，若存在，說明有幾條，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在；存在2條公切線

【解析】

（1）計(jì)算，根據(jù)曲線在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，然后計(jì)算，利用點(diǎn)斜式，可得結(jié)果.

（2）分別構(gòu)造，通過導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)，可得 ，，簡單判斷，可得結(jié)果.

（3）分別假設(shè)與的切線，根據(jù)公切線，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)性質(zhì)可得結(jié)果.

解：（1）的定義域

又

所以在點(diǎn)處的切線方程為：.

（2）設(shè)，

，

	↑	極大值	↓

設(shè)則在上恒成立

綜上

（3）曲線與存在公切線，且有2條，理由如下：

由（2）知曲線與無公共點(diǎn)，

設(shè)分別切曲線與于，則

，

若，即曲線與有公切線，則

令，

則曲線與有公切線，當(dāng)且僅當(dāng)有零點(diǎn)，

，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減

，

所以存在，使得

且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

，

又

所以在內(nèi)各存在有一個(gè)零點(diǎn)

故曲線與存在2條公切線.