Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，圖②所示為點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PAC的面積T與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間關(guān)系的圖象．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)直線AC的解析式；
（2）求出點(diǎn)P在剩余時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PAC的面積T與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間關(guān)系，并在圖②中畫出相應(yīng)的圖象；
（3）連接BM，如圖③，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，并求此時(shí)直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C點(diǎn)作AB的高，與AB的延長(zhǎng)線交于D點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象可求菱形的邊長(zhǎng)AB，結(jié)合面積求菱形的高CD，由勾股定理求DH，從而可得AH，再表示A點(diǎn)坐標(biāo)，利用“兩點(diǎn)法”求直線AC的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可直接寫出，△PAC的面積T與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間關(guān)系式；
（3）由點(diǎn)P分別在AB之間，BC之間，求三角形的底和高，再表示面積；
（4）利用互余關(guān)系尋找角的相等關(guān)系，再確定P點(diǎn)的位置及三角函數(shù)值．

解答：解：（1）過(guò)C點(diǎn)作AB的高，與AB的延長(zhǎng)線交于D點(diǎn)，
由右圖可知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2.5秒，AP=2.5×2=5，
又面積為10，所以，CD=

2×10

5

=4，
在Rt△CBD中，BD=

BC2-CD2

=3
故AH=AB-BH=OC-BH=DH-BH=BD=3
∴A（-3，4）；
將A（-3，4），C（5，0）代入直線y=kx+b中，
得AC：y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）解：將（2.5，10），（5，0）代入T=kt+b，

10=2.5k+b 0=5K+b

，
解得：k=-4，b=20，
∴T=20-4t
如圖②所示

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AB之間時(shí)，S=

1

2

×（4-

5

2

）×（5-2t）=

15

4

-

3

2

t（0≤t≤

5

2

），
當(dāng)點(diǎn)P在BC之間時(shí)，S=

1

2

×

5

2

×（2t-5）=

5

2

t-

25

4

（

5

2

＜t≤5）；

（4）設(shè)OP與AC相交于點(diǎn)Q連接OB交AC于點(diǎn)K，∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，∴∠MPB=∠MBH．
當(dāng)P點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，∵M(jìn)H⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH-PH=1，
∴t=

1

2

，
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴

AQ

CQ

=

AP

CO

=

1

5

，
在Rt△AEC中，AC=

AE2+EC2

=

42+82

=4

5

，
∴AQ=

2 5

3

QC=

10 5

3

，
在Rt△OHB中，OB=

HB2+HO2

=

22+42

=2

5

，
∵AC⊥OB，OK=KB AK=CK，
∴OK=

5

AK=KC=2

5

∴QK=AK-AQ=

4 5

3

∴tan∠OQC=

OK

QK

=

3

4

，

當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖（3）
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴

BM

BP

=

HM

HB

即

5 2

BP

=

3 2

2

，
∴BP=

10

3

，
∴t=

25

6

，
∴PC=BC-BP=5-

10

3

=

5

3

．
由PC∥OA，同理可證△PQC∽△OQA，
∴

CQ

AQ

=

CP

AO

，
∴

CQ

AQ

=

1

3

，
CQ=

1

4

AC=

5

，
∴QK=KC-CQ=

5

∵OK=

5

，∴tan∠OQK=

OK

KQ

=1．
綜上所述，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為

3

4

．
當(dāng)t=

25

6

時(shí)，∠MPB與∠BCO互為余角，直線OP與直線AC所夾銳角的正切值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角坐標(biāo)系中，特殊圖形的性質(zhì)的運(yùn)用，點(diǎn)的坐標(biāo)求法，三角形的面積表示方法．