Question

【題目】求由直線x＝1、x＝2、y＝0及曲線圍成的圖形的面積S.

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】(1)分割：

在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區(qū)間：

，則第i個區(qū)間為 (i＝1，2，…，n)，其長度為Δx＝，

分別過上述n－1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形(如圖)，它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，則小曲邊梯形面積的和為S＝.

(2)近似代替：

記f(x)＝.當(dāng)n很大，即Δx很小時，在區(qū)間上，可以認為f(x)＝的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認為它等于．從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間上，用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′＝Δx＝＝(i＝1，2，…，n)．

(3)求和：

小曲邊梯形的面積和Sn＝Si≈Si′＝＝

＝

=.從而得到S的近似值S≈Sn＝.

(4)取極限：

分別將區(qū)間[1，2]等分成8，16，20，…等份時，Sn越來越趨向于S，

從而有S＝Sn＝.

∴由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝圍成的圖形的面積S為.