Question

【題目】如圖所示，截面呈圓形的細(xì)管被彎成大圓環(huán)，并固定在豎直平面內(nèi)。在管內(nèi)的底部A處有一個(gè)質(zhì)量為m、直徑比細(xì)管直徑略小的小球，其上連有一根穿過環(huán)頂B處管口的輕繩，輕繩在外力F的作用下拉動(dòng)小球以恒定的速率v沿管壁做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知小球與管內(nèi)壁中位于大環(huán)內(nèi)側(cè)部分的壁光滑，外側(cè)部分的壁粗糙（與小球的摩擦系數(shù)為）。忽略大環(huán)內(nèi)、外半徑的差別，認(rèn)為均為R，試求A到B過程中外力F對球所做的功。

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖乙所示，在拉起的過程中，由，故尋求即可。

因?yàn)?/span>，

而，

所以。

將軌道分為很多微小的元段，每個(gè)元段的長度為，則每元段對應(yīng)摩擦力做功

。

功是標(biāo)量，求和遵從代數(shù)累積，故

。

其結(jié)果需要分兩種情形討論——

1．若N始終存在且大于零，即（或），

則求和為全程累積，有

，，所以。

2．若，

N存在的最大角度，

求和為部分累積，有

，，所以

。

故：若，則；

若，則

。