Question

【題目】一根不可伸長(zhǎng)的鋼索系在質(zhì)量的輪船上。在時(shí)刻發(fā)動(dòng)機(jī)開始拉鋼索，同時(shí)鋼索張力開始增大，達(dá)到最大值，然后保持恒定。如果輪船運(yùn)動(dòng)引起水的阻力與船速的平方成正比，求在時(shí)刻鋼索的最大張力。（輪船的加速度隨時(shí)間變化的圖像如圖所示）

Answer 1

【答案】

【解析】

在任何時(shí)刻輪船運(yùn)動(dòng)方程為，

式中為鋼索的張力，而為水的阻力與輪船速度的比例系數(shù). 設(shè)在時(shí)刻輪船的加速度等于，速度等于，而鋼索拉力等于，則此時(shí)輪船的運(yùn)動(dòng)方程為

. ①

當(dāng)鋼索張力在一段長(zhǎng)時(shí)間保持恒定（）后，輪船的加速度將趨近零，其速度趨近于某一個(gè)值，則運(yùn)動(dòng)方程為

. ②

解①②方程組得到鋼索的最大張力為.

由于速度在數(shù)值上等于在時(shí)間內(nèi)曲線所圍的面積，而速度在數(shù)值上等于在時(shí)間內(nèi)曲線所圍的面積，則.

本題中輪船受到的阻力與速度的平方成正比，且輪船的運(yùn)動(dòng)是變加速的，-這類受力與運(yùn)動(dòng)在中學(xué)常規(guī)數(shù)學(xué)中只作定性討論，不作定量要求，而在競(jìng)賽中，只要有可能求解，是不受此約束的.

運(yùn)動(dòng)圖像是圖像運(yùn)用的基礎(chǔ)，但作為信息條件給出時(shí)，我們基本上是圍繞特殊點(diǎn)、斜率、截距、面積等來讀取信息，當(dāng)然，要獲取這些信息的前提是知曉這些量所對(duì)應(yīng)的物理意義，如本題圖像中，曲線與坐標(biāo)軸所圍的面積即為輪船速度的變化.

此外，對(duì)于由不規(guī)則所圍的面積的計(jì)算一般都通過畫坐標(biāo)格進(jìn)行估算，本題的解答過程中并未給出這一估算的方法，但大家可以對(duì)圖形進(jìn)行放大，并在坐標(biāo)格上處理后，估算出，進(jìn)而求解.