Question

【題目】如圖所示，兩根剛性輕桿和在端牢固黏接在一起，延長(zhǎng)線與的夾角為銳角，桿長(zhǎng)為，桿長(zhǎng)為.在桿的、和三點(diǎn)各固連一質(zhì)量均為的小球，構(gòu)成一剛性系統(tǒng).整個(gè)系統(tǒng)放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑豎直擋板.桿延長(zhǎng)線與擋板垂直.現(xiàn)使該系統(tǒng)以大小為、方向沿的速度向擋板平動(dòng).在某時(shí)刻，小球與擋板碰撞，碰撞結(jié)束時(shí)球在垂直于擋板方向的分速度為零，且球與擋板不粘連.若使球碰撞后，球先于球與擋板相碰，求夾角應(yīng)滿足的條件.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖乙所示，建直角坐標(biāo)系，軸與擋板垂直，軸與擋板重合.碰撞前體系質(zhì)心的速度為，方向沿正方向，以表示系統(tǒng)的質(zhì)心，以和表示碰撞后質(zhì)心的速度分量，表示墻作用于小球的沖量的大小.

根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

，①

.②

由①②式得

，.③

可在質(zhì)心參考系中考察系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量.在球與擋板碰撞過程中，質(zhì)心的坐標(biāo)為

，.④

球碰擋板前，三小球相對(duì)于質(zhì)心靜止，對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量為零；球碰擋板后，質(zhì)心相對(duì)質(zhì)心參考系仍是靜止的，三小球相對(duì)質(zhì)心參考系的運(yùn)動(dòng)是繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)，若轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，則三小球?qū)�質(zhì)心的角動(dòng)量為

，⑤

式中、和分別是、和三球到質(zhì)心的距離，由圖乙可知

.⑥

由⑤⑥式得

.⑦

在碰撞過程中，質(zhì)心有加速度，質(zhì)心參考系是非慣性參考系.在質(zhì)心參考系中考察動(dòng)力學(xué)問題時(shí)，必須引入慣性力.但作用于質(zhì)點(diǎn)系的慣性力的合力通過質(zhì)心，對(duì)質(zhì)心的力矩等于零，不影響質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量，故在質(zhì)心參考系中，相對(duì)質(zhì)心角動(dòng)量的變化仍取決于作用于球的沖量的沖量矩，即有

.⑧

由⑦⑧式得

.⑨

球相對(duì)于質(zhì)心參考系的速度分量分別為

，⑩

.

球相對(duì)固定參考系速度的分量為

.

由③④⑨式得

.

根據(jù)題意有

.

由得

.

由⑨式得

.

球若先于球與擋板發(fā)生碰撞，則在球與擋板碰撞后，整個(gè)系統(tǒng)至少應(yīng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過角，即桿至少轉(zhuǎn)到沿方向，如圖丙所示.系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過所需時(shí)間為

.

在此時(shí)間內(nèi)質(zhì)心沿方向向右移動(dòng)的距離為

.

若，

則球先于球與擋板碰撞.

由此可得，

即.

本題是第29屆全國(guó)高中物理競(jìng)賽復(fù)賽試題.

相對(duì)于前面兩題而言，本題的對(duì)象更多，結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，過程也更多，難度自然也大了不少.但若能緊緊抓住動(dòng)量、能量、角動(dòng)量三方面的特性，特別是將動(dòng)量守恒問題轉(zhuǎn)化為對(duì)墻沖擊時(shí)的沖量問題，靈活運(yùn)用動(dòng)量定理，就能正確解答本題；其次則是要盯住系統(tǒng)的質(zhì)心，運(yùn)用角動(dòng)量定理，得到撞后系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；最后則是根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)規(guī)律，完成解答.

實(shí)際上，在本題作為考題之前，前面兩題已在各競(jìng)賽書籍中出現(xiàn)，而本題則是在前面兩題基礎(chǔ)上，通過對(duì)象、過程的增加，推高了試題的難度，但本質(zhì)上并沒有加入新的知識(shí)點(diǎn).值得注意的是，這一命題思路在近年的競(jìng)賽命題中較為常見.