Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，CD是⊙O的切線，CD交AB的延長線于點D，OE∥AC交BC于點F，交DC于點E．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，AC=8，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，先利用切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，再證明∠2=∠3，則可根據(jù)“SAS”判斷△OCE≌△OBE，則∠OBE=∠OCE=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到結(jié)論；
（2）先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用勾股定理可計算出BC=6，再證明△ACB∽△OBE，然后利用相似可計算出BE．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD=90°，
∵OE∥AC，
∴∠1=∠2，∠A=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠A，
∴∠2=∠3，
在△OCE和△OBE中
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{∠2=∠3}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=8，
∵BC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵∠A=∠3，∠BCA=∠EBO，
∴△ACB∽△OBE，
∴BC：BE=AC：OB，即6：BE=8：5，
∴BE=$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了切線的判斷與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．常見的輔助線為：判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”； 有切線時，常�！坝龅角悬c連圓心得半徑”．解決（2）小題的關(guān)鍵是證明△ACB∽△OBE，利用相似比求BE．