Question

【題目】如圖所示，在彈性系數(shù)為的輕質(zhì)彈簧下面懸掛一個(gè)質(zhì)量為的盤(pán)，盤(pán)不動(dòng)時(shí)，一個(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)從高處自由下落，落到盤(pán)中時(shí)與盤(pán)發(fā)生完全非彈性碰撞.此后，盤(pán)（和質(zhì)點(diǎn)）的振動(dòng)將在豎直方向振動(dòng).試求：（1）這個(gè)振動(dòng)的振幅；

（2）以質(zhì)點(diǎn)碰撞盤(pán)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)、向下為位移正方向，求解振動(dòng)方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）與碰撞前，的速度大小為

.

設(shè)與碰撞后的共同速度為，由動(dòng)量守恒有，

所以，.

由平衡條件易知，碰撞點(diǎn)在新的平衡點(diǎn)上方，即.

設(shè)系統(tǒng)振動(dòng)的振幅為，由能量關(guān)系有

，

可求得振幅.

（2）系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率，建立平衡位置為原點(diǎn)且向下為正方向的坐標(biāo)系，設(shè)其振動(dòng)初位相為，則

，

.

將振動(dòng)位移方程的初始條件

，，

代入，有

，

.

所以有，

即.

進(jìn)而有

.

對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的分析與計(jì)算，初態(tài)的分析與計(jì)算是一個(gè)非常重要的節(jié)點(diǎn)，它在一定程度上決定了你對(duì)整個(gè)振動(dòng)的描述正確與否.

對(duì)于初態(tài)的確定，其初位相的確定是最為復(fù)雜的，也是非常重要的，特別是在非完整的諧振中，相位的確定直接決定了解答能否進(jìn)行.而相位的確定往往必須結(jié)合位移與速度進(jìn)行綜合判斷，單一從速度與位移通常是難以確定的.

對(duì)相位的確定，既可從振動(dòng)方程得到（如本題），也可利用參考圓進(jìn)行確定，方法無(wú)所謂優(yōu)劣，重在你處理時(shí)的謹(jǐn)慎與否.