Question

6．如圖所示，兩根不計電阻的金屬導(dǎo)線MN與PQ放在水平面內(nèi)，MN是直導(dǎo)線，PQ的PQ₁段是直導(dǎo)線，Q₁Q₂段是弧形導(dǎo)線，Q₂Q段是直導(dǎo)線，MN、PQ₁、Q₂Q相互平行，M、P間接入一個阻值R=0.25?的電阻，一根質(zhì)量為1.0kg且不計電阻的金屬棒AB能在MN、PQ上無摩擦地滑動，金屬棒始終垂直于MN，整個裝置處于磁感應(yīng)強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向豎直向下，金屬棒處于位置（Ⅰ）時，給金屬棒一個向右的速度v₁=4m/s，同時方向水平向右的外力F₁=3N作用在金屬棒上使金屬棒向右做勻減速直線運動，當(dāng)金屬棒運動到位置（Ⅱ）時，外力方向不變，大小變?yōu)镕₂，金屬棒向右做勻速直線運動，再經(jīng)過時間t=2s到達位置（Ⅲ）．金屬棒在位置（Ⅰ）時，與MN、Q₁Q₂接觸于a、b兩點，a、b的間距L₁=1m，金屬棒在位置（Ⅱ）時，棒與MN、Q₁Q₂接觸于c、d兩點，已知位置（Ⅰ）、（Ⅱ）間距為s₁=7.5m，求：
（1）金屬棒從位置（Ⅰ）運動到位置（Ⅱ）的過程中，加速度的大�。�
（2）c、d兩點間的距離L₂；
（3）外力F₂的大�。�
（4）金屬棒從位置（Ⅰ）運動到位置（Ⅲ）的過程中產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）由題，金屬棒從位置（I）到位置（Ⅱ）的過程中，做勻減速運動，加速度不變，根據(jù)E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F_安=BIL結(jié)合求出金屬棒在位置I時受到的安培力大小，根據(jù)牛頓第二定律可求出加速度a．
（2）由運動學(xué)公式${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=2a{s}_{1}$求出金屬棒在位置（Ⅱ）時的速度v₂，由于棒做勻減速運動，安培力大小不變，由安培力的表達式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$求解L₂．
（3）金屬棒從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過程中，做勻速直線運動，F(xiàn)₂與安培力大小相等．
（4）金屬棒從位置（I）運動到位置（Ⅲ）的過程中，外力做功提供的能量轉(zhuǎn)化為棒的動能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電阻R上放出的熱量Q．

解答 解：（1）金屬棒從位置（I）到位置（Ⅱ）的過程中，做勻減速運動，加速度不變，方向向左，設(shè)大小為a，在位置I時，a、b間的感應(yīng)電動勢為E₁，感應(yīng)電流為I₁，受到的安培力為F_安1，則有
E₁=BL₁v₁，${I}_{1}=\frac{{E}_{1}}{R}$，F(xiàn)_安1=BI₁L₁=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{1}}{R}$…①
聯(lián)立解得 F_安1=4N…②
根據(jù)牛頓第二定律得
F_安1-F₁=ma…③
代入解得，a=1m/s²…④
（2）設(shè)金屬棒在位置（Ⅱ）時速度為v₂，由運動學(xué)規(guī)律得 ${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=-2a{s}_{1}$…⑤
解得v₂=1m/s…⑥
由于金屬棒在（I）和（II）之間做勻減速直線運動，即加速度大小保持不變，外力F₁恒定，所以AB棒受到的安培力不變即
F_安1=F_安2=$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{v}_{2}}{R}$…⑦
解得${L}_{2}=\sqrt{\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}}{L}_{1}=\sqrt{\frac{4}{1}}×1m=2m$ …⑧
（3）金屬棒從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過程中，做勻速直線運動，感應(yīng)電動勢大小與位置（Ⅱ）時的感應(yīng)電動勢大小相等，安培力與位置（Ⅱ）時的安培力大小相等，所以
F₂=F_安2=4N…⑨
（4）設(shè)位置（II）和（Ⅲ）之間的距離為s₂，則
s₂=v₂t=2 m…⑩
設(shè)從位置（I）到位置（Ⅱ）的過程中，外力做功為W₁，從位置（Ⅱ）到位置（Ⅲ）的過程中，外力做功為W₂，則
W₁=F₁s₁=22.5 J
W₂=F₂s₂=8 J
根據(jù)能量守恒得W₁+W₂+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}+Q$
解得Q=38J
答：（1）金屬棒向右勻減速運動時的加速度大小為1m/s²．
（2）c、d兩點間的距離L₂為2m．
（3）外力F₂的大小為4N
（4）金屬棒從位置（I）運動到位置（Ⅲ）的過程中，電阻R上放出的熱量Q為38J．

點評 本題是抓住勻減速運動的特點：合力一定，加速度一定，分析棒的受力情況，同時，要掌握安培力的經(jīng)驗公式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，從力和能兩個方面研究本題．