Question

【題目】如圖甲所示，一人做射靶游戲，為使每次槍彈都擊中在靶面的同一條水平線上，則每次射擊的瞄準(zhǔn)點(diǎn)必須在靶面同一圓周上，試加以證明。（已知水平線離地面高度為h，槍與靶相距為d，子彈發(fā)射速率為）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖乙（此圖在題圖的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)換了一個(gè)方位）建立坐標(biāo)系，O點(diǎn)為子彈發(fā)射點(diǎn)，軸垂直墻面（yz平面），軸與墻交于點(diǎn)。，y軸豎直向上，z軸與墻面平行，并水平指向。

拋體運(yùn)動(dòng)原本是在通過拋射點(diǎn)的一個(gè)豎直平面內(nèi)的平面運(yùn)動(dòng)，它可以用兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)描述。本問題討論的是子彈在通過拋射點(diǎn)的不同豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，必須在三維空間中加以討論。但是，每次拋射，子彈仍在一個(gè)平面內(nèi)適動(dòng)。

任意取一個(gè)過O點(diǎn)的豎直拋射平面，其與地面交線取作軸，它與墻面交于點(diǎn)D，，如圖乙所示。若墻上瞄準(zhǔn)點(diǎn)為B，子彈擊中墻平面上直線MN上的A點(diǎn)。設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，因墻平面上各點(diǎn)的x坐標(biāo)均為d。題中要求寫出滿足條件的y與x之間的函數(shù)關(guān)系。

我們把子彈的拋體運(yùn)動(dòng)分解為以速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)，且子彈擊中直線MN上的A點(diǎn)。利用子彈勻速地從O點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間等于從B點(diǎn)自由落體到A點(diǎn)的時(shí)間，寫出方程，

即。

將此式兩邊平方，再整理得到

。

這就是為擊中墻上水平線MN，要求槍在墻上的瞄準(zhǔn)點(diǎn)所滿足的關(guān)系。這是一個(gè)圓方程，圓心坐標(biāo)為，圓半徑為。

圖丙中畫出了墻平面上的直線MN和瞄準(zhǔn)點(diǎn)構(gòu)成的圓。

能夠看出：

ⅰ.一般情況下，同一個(gè)擊中點(diǎn)A，對應(yīng)有兩個(gè)瞞準(zhǔn)點(diǎn)和，即對應(yīng)兩個(gè)拋射角。因此，為使墻上擊中點(diǎn)高于直線MN，在初速相同的情況下，其瞄準(zhǔn)點(diǎn)應(yīng)落在圓的內(nèi)部。

ⅱ.當(dāng)子彈初速、墻與發(fā)射點(diǎn)距離d、墻平面上直線MN高度h一定時(shí)，子彈只能擊中此水平線的一部分，即從點(diǎn)到點(diǎn)一段。

ⅲ.瞄準(zhǔn)點(diǎn)圓半徑必須滿足。相應(yīng)地，不能太小。代入r的表達(dá)式，確定的條件為。