Question

【題目】如圖所示，一個(gè)沙漏（古代的一種計(jì)時(shí)器）置于一個(gè)臺(tái)秤上，初始時(shí)瓶中所有沙子都放在上面的容器中，瓶的質(zhì)量為M，瓶中沙子的質(zhì)量為m。在時(shí)，沙開(kāi)始被釋放并流入下面的容器中，沙子以常數(shù)的質(zhì)量變化率離開(kāi)上面的容器。請(qǐng)畫出（并定量標(biāo)明）一個(gè)圖，給出在的全部時(shí)間內(nèi)秤的讀數(shù)。

Answer 1

【答案】

【解析】

沙子由上面的容器到下面的容器所用的時(shí)間為

沙子碰到下容器前的速度為。

（1）．在沙子開(kāi)始下落到沙子開(kāi)始碰到下容器底部前的一段時(shí)間，，盤秤的讀數(shù)為

。

（2）從沙子開(kāi)始碰到下容器直到全部沙子離開(kāi)上容器那一段時(shí)間，（為全部沙子離開(kāi)上容器的時(shí)刻），沙子對(duì)容器的作用可分為兩部分：

一是靜止在容器中的沙子由于重力作用而對(duì)容器產(chǎn)生壓力作用，其大小為

。

二是下落的沙子在與容器碰撞過(guò)程中對(duì)容器的作用力。設(shè)在很短時(shí)間內(nèi)與容器相碰的沙子的質(zhì)量為，由動(dòng)量定理，對(duì)下落相碰的沙子有

。

將代入得

。

由于很小，故有。

所以盤秤的讀數(shù)為

。

（3）從沙子全部離開(kāi)上容器直到全部到達(dá)下容器底部為止的一段時(shí)間里，，盤秤的讀數(shù)為

。

（4）沙子全部下落到下容器后，盤秤的讀數(shù)為

。

綜合上述4個(gè)過(guò)程的分析，盤秤讀數(shù)與時(shí)間的關(guān)系圖線如下圖所示。

圖中，，。