Question

10．如圖①，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．
（1）求證：AM=AD+MC；
（2）求證：AM=DE+BM；
（3）若四邊形ABCD是矩形，AB=6，AD=9，其他條件不變，如圖②．
①探究（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明；
②求AM的長．

Answer 1

分析 （1）從平行線和中點這兩個條件出發(fā)，延長AE、BC交于點N，如圖①，易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．
（2）作FA⊥AE交CB的延長線于點F，易證AM=FM，只需證明FB=DE即可；要證FB=DE，只需證明它們所在的兩個三角形全等即可．
（3）①在圖②中，仿照（1）中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立；在圖③中，采用反證法，并仿照（2）中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立．②先表示出BM=BC-MC=9-x，AM=AD+MC=9+x，根據(jù)勾股定理得，AM²-BM²=AB²，求出x即可．

解答 （1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖①，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠ENC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠ENC=∠MAE．
∴MA=MN．
在△ADE和△NCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠MAE}\\{∠AED=∠NEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△NCE（AAS）．
∴AD=NC．
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC．
（2）AM=DE+BM成立．
證明：過點A作AF⊥AE，交CB的延長線于點F，如圖2所示
．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°．
∴∠FAB=90°-∠BAE=∠DAE．
在△ABF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAB=∠EAD}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠D}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴BF=DE，∠F=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM．
∴∠F=∠FAM．
∴AM=FM．
∴AM=FB+BM=DE+BM．
（3）①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立．
證明：延長AE、BC交于點P，如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠DAE=∠EPC．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠MAE．
∴∠EPC=∠MAE．
∴MA=MP．
在△ADE和△PCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠CPE}\\{∠AED=∠PEC}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△PCE（AAS）．
∴AD=PC．
∴MA=MP=PC+MC=AD+MC．
②結(jié)論AM=DE+BM不成立．
證明：假設(shè)AM=DE+BM成立．
過點A作AQ⊥AE，交CB的延長線于點Q，如圖4所示．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB∥DC．
∵AQ⊥AE，
∴∠QAE=90°．
∴∠QAB=90°-∠BAE=∠DAE．
∴∠Q=90°-∠QAB=90°-∠DAE=∠AED．
∵AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE．
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM=∠BAM+∠QAB=∠QAM．
∴∠Q=∠QAM．
∴AM=QM．
∴AM=QB+BM．
∵AM=DE+BM，
∴QB=DE．
在△ABQ和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QAB=∠EAD}\\{∠ABQ=∠D}\\{BQ=DE}\end{array}\right.$
∴△ABQ≌△ADE（AAS）．
∴AB=AD．
與條件“AB≠AD“矛盾，故假設(shè)不成立．
∴AM=DE+BM不成立．
②設(shè)MC=x，則BM=BC-MC=9-x，
由（1）有，AM=AD+MC=9+x，
根據(jù)勾股定理得，AM²-BM²=AB²，
∴（9+x）²-（9-x）²=36，
∴x=1，
∴AM=9+x=10．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．