Question

11．村民準(zhǔn)備在山坡上修建房屋，需要將沙石運(yùn)送到山坡頂．某輛載重汽車，空載時(shí)的質(zhì)量為m₁；當(dāng)汽車裝滿沙石后，沿ABC路線行駛將沙石運(yùn)至高為h的山坡頂，如圖1所示，汽車在t=0時(shí)經(jīng)過A處，t=t₁時(shí)經(jīng)過B處，t=t₂時(shí)經(jīng)過C處，在此過程中汽車的牽引力F和運(yùn)動(dòng)速度v隨時(shí)間的變化圖象可簡(jiǎn)化為圖2、圖3所示．已知斜坡的機(jī)械效率為η，請(qǐng)你通過分析、計(jì)算完成下列內(nèi)容：（不計(jì)空氣阻力）

（1）汽車所裝沙石的質(zhì)量；
（2）汽車沿斜坡BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力．

Answer 1

分析 （1）已知斜坡的機(jī)械效率為η，利用η=$\frac{Gh}{FL}$可求得汽車所裝沙石的質(zhì)量．
（2）汽車在BC段行駛時(shí)，克服石塊重力做的功為有用功，利用效率公式求出總功，可求總的額外功，而總的額外功等于克服汽車重力做的功加上克服摩擦做的功，據(jù)此求摩擦力f的表達(dá)式．

解答 解：
（1）上坡時(shí)對(duì)石塊做的有用功：W_有用=G_石h=m_石gh ①，
由圖3可知，斜坡長(zhǎng)L=v₂（t₂-t₁），
由圖2可知，上坡時(shí)的牽引力為F₂，
上坡時(shí)牽引力做的總功：W_總=FL=F₂v₂（t₂-t₁）②，
由η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{m}_{石}gh}{{F}_{2}{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}$得：
m_石=$\frac{{F}_{2}{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）η}{gh}$ ③；
（2）根據(jù)功的原理（即：總功=有用功+額外功）可知，
上坡時(shí)牽引力做的功=克服石塊重力做的功+克服貨車自重做的功+克服摩擦力做的功；
所以W_總=m_石gh+m₁gh+W_f ，
結(jié)合前面①②③式可得：
F₂v₂（t₂-t₁）=$\frac{{F}_{2}{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）η}{gh}$×gh+m₁gh+W_f，
解得克服摩擦力做的功：W_f =F₂v₂（t₂-t₁）（1-η）-m₁gh，
又因?yàn)閃_f=fL，L=v₂（t₂-t₁），
所以摩擦力：f=$\frac{{W}_{f}}{L}$=$\frac{{F}_{2}{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）（1-η）-{m}_{1}gh}{{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}$．
答：（1）汽車所裝沙石的質(zhì)量為$\frac{{F}_{2}{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）η}{gh}$；
（2）汽車沿斜坡BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力為$\frac{{F}_{2}{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）（1-η）-{m}_{1}gh}{{v}_{2}（{t}_{2}-{t}_{1}）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合題考查了力學(xué)中有用功、額外功、總功、機(jī)械效率的計(jì)算，能從題目提供的圖中得出相關(guān)信息是本題的關(guān)鍵．