Question

17．如圖甲所示，重5N、高40cm、底面積為50cm²的圓柱形容器置于水平桌面上．在容器內(nèi)放入一個(gè)底面積為20cm²、高為15cm的圓柱形物塊，物塊底部的中心通過一段細(xì)線與容器底部相連．向容器內(nèi)緩慢注入水直至將其注滿，如圖乙所示．已知在注入水的過程中細(xì)線對(duì)物塊的拉力F隨水深度h的變化關(guān)系圖象如圖丙所示．研究表明液體對(duì)容器底部的壓強(qiáng)計(jì)算公式為p=ρgh（g取10N/kg，h指液體的深度）．

求：（1）繩子的長(zhǎng)度和物塊的密度；
（2）繩子的最大拉力；
（3）杯中注滿水時(shí)，杯底對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)；
（4）杯中注滿水后，若再將細(xì)線剪斷，當(dāng)物塊靜止時(shí)，液體對(duì)容器底部的壓強(qiáng)（設(shè)此過程中沒有水溢出杯口）

Answer 1

分析 （1）由圖丙可知，當(dāng)水深為30cm以后，繩子的拉力不再發(fā)生變化，則h=30cm時(shí)圓柱體恰好完全浸沒，減去圓柱體的長(zhǎng)度即為繩子的長(zhǎng)度；由圖丙可知，當(dāng)h′=25cm時(shí)，圓柱體處于臨界狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，減去圓柱體的長(zhǎng)度即為此時(shí)圓柱體下表面所處的深度，根據(jù)體積求出圓柱體排開水的體積，根據(jù)阿基米德原理求出圓柱體受到的浮力即為圓柱體的重力，根據(jù)G=mg求出圓柱體的質(zhì)量，根據(jù)V=Sh求出圓柱體的體積，利用密度公式求出圓柱體的密度；
（2）當(dāng)物體浸沒時(shí)繩子的拉力最大，根據(jù)阿基米德原理求出圓柱體受到的浮力，圓柱體的重力減去受到的浮力即為繩子的最大拉力；
（3）根據(jù)V=Sh求出容器的容積，然后減去圓柱體的體積即為杯中注滿水時(shí)水的體積，根據(jù)密度公式求出水的質(zhì)量，根據(jù)G=mg求出水的重力，然后加上容器和圓柱體的重力即為
杯底對(duì)水平桌面的壓力，根據(jù)p=$\frac{F}{S}$求出杯底對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)；
（4）杯中注滿水后，若再將細(xì)線剪斷，求出當(dāng)物塊靜止時(shí)水和木塊浸入水中的總體積，然后除以容器的底面積即為容器內(nèi)水的深度，根據(jù)p=ρgh求出液體對(duì)容器底部的壓強(qiáng)．

解答 解：（1）由圖丙可知，當(dāng)水深為30cm以后，繩子的拉力不再發(fā)生變化，
則h=30cm時(shí)，圓柱體恰好完全浸沒，
所以，繩子的長(zhǎng)度：
L=h-h_圓柱體=30cm-15cm=15cm，
由圖丙可知，當(dāng)h′=25cm時(shí)，圓柱體處于臨界狀態(tài)，受到的浮力和自身的重力相等，
此時(shí)圓柱體下表面所處的深度：
h₁=h′-L=25cm-15cm=10cm，
圓柱體排開水的體積：
V_排=S_圓柱體h₁=20cm²×10cm=200cm³=2×10^-4m³，
則圓柱體的重力：
G_圓柱體=F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×2×10^-4m³=2N，
由G=mg可得，圓柱體的質(zhì)量：
m_圓柱體=$\frac{{G}_{圓柱體}}{g}$=$\frac{2N}{10N/kg}$=0.2kg，
圓柱體的體積：
V_圓柱體=S_圓柱體h_圓柱體=20cm²×15cm=300cm³=3×10^-4m³，
圓柱體的密度：
ρ_圓柱體=$\frac{{m}_{圓柱體}}{{V}_{圓柱體}}$=$\frac{0.2kg}{3×1{0}^{-4}{m}^{3}}$≈0.67×10³kg/m³；
（2）當(dāng)物體浸沒時(shí)繩子的拉力最大，此時(shí)圓柱體受到的浮力：
F_浮′=ρ_水gV_圓柱體=1.0×10³kg/m³×10N/kg×3×10^-4m³=3N，
繩子的最大拉力：
F_拉力=G-F_浮′=3N-2N=1N；
（3）容器的容積：
V_容器=S_容器h_容器=50cm²×40cm=2000cm³=2×10^-3m³，
杯中注滿水時(shí)，水的體積：
V_水=V_容器-V_圓柱體=2×10^-3m³-3×10^-4m³=1.7×10^-3m³，
容器內(nèi)水的質(zhì)量：
m_水=ρ_水V_水=1.0×10³kg/m³×1.7×10^-3m³=1.7kg，
水的重力：
G_水=m_水g=1.7kg×10N/kg=17N，
杯底對(duì)水平桌面的壓力：
F_壓=G_容器+G_水+G_圓柱體=5N+17N+2N=24N，
杯底對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)：
p=$\frac{{F}_{壓}}{{S}_{容器}}$=$\frac{24N}{50×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=4800Pa；
（4）杯中注滿水后，若再將細(xì)線剪斷，
當(dāng)物塊靜止時(shí)，水和木塊浸入水中的總體積：
V=V_水+V_排=1.7×10^-3m³+2×10^-4m³=1.9×10^-3m³，
容器內(nèi)水的深度：
h_深=$\frac{V}{{S}_{容器}}$=$\frac{1.9×1{0}^{-3}{m}^{3}}{50×1{0}^{-4}{m}^{2}}$=0.38m，
液體對(duì)容器底部的壓強(qiáng)：
p′=ρ_水gh_深度=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.38m=3800Pa．
答：（1）繩子的長(zhǎng)度為15cm，物塊的密度為0.67×10³kg/m³；
（2）繩子的最大拉力為1N；
（3）杯中注滿水時(shí)，杯底對(duì)水平桌面的壓強(qiáng)為4800Pa；
（4）杯中注滿水后，若再將細(xì)線剪斷，當(dāng)物塊靜止時(shí)，液體對(duì)容器底部的壓強(qiáng)為2800Pa．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了密度、繩子拉力、壓強(qiáng)的計(jì)算，明白圖丙中25cm和30cm圓柱體所處的狀態(tài)是解題的關(guān)鍵．