Question

如圖1，一根長(zhǎng)為20cm，橫截面積為10cm²的均勻木桿用細(xì)線和彈簧測(cè)力計(jì)豎直懸掛起立，置于燒杯內(nèi)水平面上方．現(xiàn)將燒杯豎直緩緩提升，木桿逐漸浸入水中，已知木桿的密度為ρ₁=0.8×10³kg/m³，水的密度為ρ₀=1.0×10³kg/m³
（1）當(dāng)彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為1.2N時(shí)，求木桿浸入水中的長(zhǎng)度．
（2）繼續(xù)緩慢提升燒杯，當(dāng)木桿浸入水中一定深度時(shí)，開始出現(xiàn)傾斜，當(dāng)木桿再次靜止時(shí)，木桿與豎直方向成30°角，如圖2所示，求木桿浸入水中的長(zhǎng)度．（忽略木桿橫截面積的影響）

Answer 1

分析：（1）知道木桿長(zhǎng)和橫截面積，可求木桿的體積；又知道木桿的密度，利用G=mg=ρVg求木桿的重力；而木桿的浮力加上拉力（彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)）等于木桿的重力，據(jù)此求木桿受到的浮力，再利用阿基米德原理求木桿浸入的長(zhǎng)度；（2）設(shè)木桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，此時(shí)木桿浸入的長(zhǎng)度為h，如圖，木桿受水的浮力的作用點(diǎn)在D（浸入部分的中點(diǎn)），其力臂為OA；木塊受到重力的作用，作用點(diǎn)在C點(diǎn)（木桿的中點(diǎn)），其力臂為OB，由于杠杠平衡，可得：F_浮′×OA=G×OB，將已知條件代入解方程求得h的大�。�

解答：解：
（1）木桿的體積：
V=Sh=10cm²×20cm=200cm³=2×10^-4m³，
木桿的重力：
G=mg=ρ₁Vg=0.8×10³kg/m³×2×10^-4m³×10N/kg=1.6N，
當(dāng)彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)F_示=1.2N時(shí)，木桿受到的浮力：
F_浮=G-F_示=1.6N-1.2N=0.4N，
∵F_浮=ρ₀V_排g=ρ₀SL_浸g，
∴木桿浸入的長(zhǎng)度：
L_浸=

F浮

ρ0Sg

=

0.4N

1×103kg/m3×10×10-4m2×10N/kg

=0.04m=4cm；
（2）設(shè)木桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，此時(shí)木桿浸入的長(zhǎng)度為h，如右圖，
木桿受到水的浮力，作用點(diǎn)在D（浸入部分的中點(diǎn)），其力臂OA=（L-

1

2

h）sin30°，
木塊受到重力的作用，作用點(diǎn)在C點(diǎn)（木桿的中點(diǎn)），其力臂OB=

1

2

Lsin30°，
由于杠杠平衡條件可得：
F_浮′×OA=G×OB，
即：F_浮′×（L-

1

2

h）sin30°=G×

1

2

Lsin30°，
而F_浮′=ρ₀V_排′g=ρ₀Shg，
G=ρ₁Vg=ρ₁SLg，
sin30°=

1

2

，
代入得：
ρ₀Shg×（L-

1

2

h）×

1

2

=ρ₁SLg×

1

2

L×

1

2

，
再代入已知條件：L=20cm，ρ₁=0.8×10³kg/m³=0.8g/cm³，ρ₀=1.0×10³kg/m³=1g/cm³，
1g/cm³×Shg×（20cm-

1

2

h）×

1

2

=0.8g/cm³×S×20cm×g×

1

2

20cm×

1

2

，
1g/cm³×h×（20cm-

1

2

h）=0.8g/cm³×20cm×

1

2

×20cm，
h²-40h+320=0，
解得：
h=

40+ 402-4×1×320

2

≈29cm（大于20cm，舍去），h=

40- 402-4×1×320

2

≈11cm．
答：（1）當(dāng)彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為1.2N時(shí)，木桿浸入水中的長(zhǎng)度為4cm；
（2）繼續(xù)緩慢提升燒杯，當(dāng)木桿浸入水中一定深度時(shí)，開始出現(xiàn)傾斜，當(dāng)木桿再次靜止時(shí)，木桿與豎直方向成30°角，木桿浸入水中的長(zhǎng)度為11cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)杠杠平衡條件、重力公式、密度公式、阿基米德原理的掌握和運(yùn)用，難點(diǎn)在第二問，能畫圖確定浮力和重力的力臂是本題的關(guān)鍵．