Question

19．電源兩端電壓不變，小燈泡L燈絲電阻保持不變．當開關S₁、S₂、S₃都閉合，滑動變阻器的滑片P滑至B端時，小燈泡恰好正常發(fā)光，電流表的示數(shù)為I₁，電壓表的示數(shù)為U₁；當只閉合開關S₁，滑動變阻器的滑片P滑至AB中點時，小燈泡消耗的功率為額定功率的$\frac{1}{4}$，電流表的示數(shù)為I₂；當只閉合開關S₂時，電流表的示數(shù)為I₃，電壓表的示數(shù)為U₃，電阻R₁的電功率P₁為2W，已知：U₁：U₃=3：1，I₁：I₂=7：1．
請畫出該題的各個等效電路圖．
求：（1）電阻R₁與R₂之比；
（2）小燈泡的額定功率P_額．

Answer 1

分析 先畫出三種情況的等效電路圖：
（1）由甲圖可知電源的電壓和U₁相等，根據(jù)串聯(lián)電路的電流特點和歐姆定律表示出圖丙中R₂與R₁兩端的電壓結合U₁：U₃=3：1即可得出R₁與R₂之比；
（2）根據(jù)P=$\frac{{U}^{2}}{R}$分別表示出圖甲和圖乙中燈泡的電功率結合小燈泡消耗的功率為額定功率的$\frac{1}{4}$得出圖乙中燈泡兩端的電壓與電源電壓之間的比值，再根據(jù)串聯(lián)電路的電流特點和歐姆定律得出燈泡與滑動變阻器最大阻值之間的關系，根據(jù)電阻的并聯(lián)得出圖甲中的總電阻，根據(jù)電阻的串聯(lián)特點和歐姆定律表示出圖甲和圖乙中的電源，利用電源的電壓不變得出等式結合電流關系即可求出燈泡電阻與R₂之間的關系，進一步得出燈泡電阻與R₁之間的關系，利用電阻的串聯(lián)和歐姆定律求出圖丙中R₁兩端的電壓，根據(jù)P=$\frac{{U}^{2}}{R}$表示出電阻R₁的電功率結合燈泡電阻與R₁之間的關系即可求出燈泡的額定功率．

解答 解：當開關S₁、S₂、S₃都閉合，滑動變阻器的滑片P滑至B端時，等效電路圖如圖甲所示；
當只閉合開關S₁，滑動變阻器的滑片P滑至AB中點時，等效電路圖如圖乙所示；
當只閉合開關S₂時，等效電路圖如圖丙所示．

（1）由甲圖可知：U=U₁，
在丙圖中：
串聯(lián)電路總各處的電流相等，
根據(jù)歐姆定律可得：$\frac{{U}_{3}}{{U}_{1}}$=$\frac{I{R}_{2}}{I（{R}_{1}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，
解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{2}{1}$；
（2）圖甲和圖乙中：
由P=$\frac{{U}^{2}}{R}$可知：$\frac{{P}_{額}}{{P}_{L}}$=$\frac{\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}}{\frac{{U}_{L}^{2}}{{R}_{L}}}$=（$\frac{U}{{U}_{L}}$）²=$\frac{4}{1}$，
解得：$\frac{U}{{U}_{L}}$=$\frac{2}{1}$，
圖乙中：
串聯(lián)電路總各處的電流相等，
$\frac{{U}_{L}}{U}$=$\frac{{I}_{2}{R}_{L}}{{I}_{2}×（{R}_{L}+\frac{1}{2}{R}_{ab}）}$=$\frac{1}{2}$，
解得：R_ab=2R_L，
圖甲中：
并聯(lián)電路中總電阻的倒數(shù)等于各分電阻倒數(shù)之和，
電路中的總電阻：R_并=$\frac{{R}_{L}{R}_{2}}{{R}_{L}+{R}_{2}}$
電源的電壓不變，
$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$=$\frac{{R}_{L}+\frac{1}{2}{R}_{ab}}{\frac{{R}_{L}{R}_{2}}{{R}_{L}+{R}_{2}}}$=$\frac{{R}_{L}+\frac{1}{2}×2{R}_{L}}{\frac{{R}_{L}{R}_{2}}{{R}_{L}+{R}_{2}}}$=$\frac{7}{1}$，
解得：$\frac{{R}_{2}}{{R}_{L}}$=$\frac{2}{5}$，R₁=2R₂=2×$\frac{2}{5}$R_L=$\frac{4}{5}$R_L，
圖丙中：$\frac{{U}_{1}′}{U}$=$\frac{{I}_{3}{R}_{1}}{{I}_{3}（{R}_{1}+{R}_{2}）}$=$\frac{{R}_{1}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，則U₁′=$\frac{2}{3}$U，
電阻R₁的電功率：P₁=$\frac{（\frac{2}{3}U）^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{（\frac{2}{3}U）^{2}}{\frac{4}{5}{R}_{L}}$=$\frac{5}{9}$×$\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}$=2W，
燈泡的額定功率：P_額=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{L}}$=$\frac{9}{5}$×2W=3.6W．
答：（1）電阻R₁與R₂之比為2：1；
（2）小燈泡的額定功率為3.6W．

點評 本題考查了串聯(lián)電路的特點和并聯(lián)電路的特點以及歐姆定律、電功率公式的靈活應用，關鍵是畫出三種情況的等效電路圖和知道燈泡正常發(fā)光時的電壓與額定電壓相等，難點是根據(jù)電壓關系和功率關系得出各電阻之間的關系．