Question

如圖所示，B、C兩點(diǎn)相距60米，C、A兩點(diǎn)相距80米，AC與BC相互垂直．甲以2米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，乙以4米/秒的速度同時(shí)由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．經(jīng)過________秒，甲、乙之間的距離最近；經(jīng)過________秒，甲、乙所處位置與C點(diǎn)構(gòu)成的三角形和三角形ABC可能相似．

Answer 1

6    或12
分析：（1）甲從B向C運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，乙從C向A運(yùn)動(dòng)E點(diǎn)，構(gòu)成Rt△DCE，求出DC、CE，根據(jù)勾股定理求出DE，得到一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)自變量為-時(shí)二次函數(shù)有最小值．如圖1．
（2）甲從B向C運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，乙從C向A運(yùn)動(dòng)E點(diǎn)，△DCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例求出甲乙的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．如圖1．
甲從B向C運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，乙從C向A運(yùn)動(dòng)N點(diǎn)，△CMN∽△CBA，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例求出甲乙的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．如圖2．

解答：（1）設(shè)甲乙運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
甲的運(yùn)動(dòng)速度為2m/s，乙的運(yùn)動(dòng)速度為4m/s，
根據(jù)速度公式得：DB=2m/s?t，CE=4m/s?t，
因?yàn)椋珺C=60m，所以DC=BC-BD=60m-2m/s?t，
根據(jù)勾股定理得，DE²=CD²+CE²，
設(shè)y=DE，所以，y²=（60m-2m/s?t）²+（4m/s?t）²，
整理得，y²=20t²-240t+3600，
當(dāng)t=-=-=6s時(shí)，y最小，即甲乙距離最短．
（2）①如分析中圖1：
甲從B向C運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，乙從C向A運(yùn)動(dòng)E點(diǎn)，△DCE∽△ACB，
所以=，=．
t=s．
②如分析中圖2，甲從B向C運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，乙從C向A運(yùn)動(dòng)N點(diǎn)，△CMN∽△CBA，
所以=，
CM=60m-2m/s?t，CN=4m/s?t，
=，
所以，t=12s．
故答案為：6；或12．
點(diǎn)評(píng)：本題重要的考查了相似三角形和二次函數(shù)的最小值，有點(diǎn)像數(shù)學(xué)題，尤其是相似三角形的兩種情況，學(xué)生一般不容易考查全面，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．