Question

2．電學(xué)量的變化往往能夠用來反映力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)等物理量的變化，如圖甲所示是小明設(shè)計的一種家庭水箱的水位測量裝置的示意圖，圖中的電流表示數(shù)可以反映水箱中水位的高低，已知電源電壓是12V且保持不變，電流表量程是0-0.6A，保護(hù)電阻R₀阻值為20Ω，R是長為20cm的均勻電阻線，阻值與其長度成正比，其最大值為20Ω，金屬滑片P與R接觸良好且不計摩擦，圓柱體A長80cm，底面積為200cm²，當(dāng)水位處于最高處h_max時，A剛好浸沒在水中，滑片P恰好在a端；當(dāng)水箱里沒有水時，滑片P恰好在b端，此時A與容器底接觸但對水箱底的壓力剛好為0，彈簧伸長的長度x始終與受到的拉力F成正比．（g=10N/kg）
求：（1）當(dāng)水位最高時電流表的示數(shù)為0.6A；當(dāng)水位降低時電流表的示數(shù)減�。ㄟx填“增大”、“減小”或“不變”）
（2）推導(dǎo)出水位高度H與電流表示數(shù)I之間的關(guān)系式，并在如圖乙所示的電流表表盤上標(biāo)出水位為0、水位為$\frac{{h}_{max}}{2}$和水位為h_max時對應(yīng)的電流表指針的位置．
（3）若將圖甲電路中的電流表改為電壓表，同時使電壓表反映容器中水位的高低的刻度均勻，請在圖乙中添加電壓表，并連接電路，且水箱里沒有水時電壓表的示數(shù)為零．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)水位處于最高處時滑片恰好位于a端，接入電路中的電阻為0，電路為R₀的簡單電路，根據(jù)歐姆定律求出電路中電流表的示數(shù)；當(dāng)水位降低時，滑片下移，R接入電路中的電阻增大，根據(jù)歐姆定律可知電路中電流的變化；
（2）水箱里沒有水時，滑片位于b端，彈簧測力計的示數(shù)和圓柱體的重力相等；當(dāng)水位處于最大處h_max時，滑片在a端，圓柱體浸沒，受到的浮力最大，根據(jù)阿基米德原理求出圓柱體受到的最大浮力，此時彈簧測力計的示數(shù)等于圓柱體的重力減去受到的浮力，據(jù)此得出彈簧長度縮短量和減小彈力的關(guān)系；根據(jù)彈簧伸長的長度x始終與受到的拉力F成正比和電阻線R的阻值與其長度成正比得出容器中水的深度為H時物體A浸入的深度h，然后得出滑動變阻器接入電路中的電阻，根據(jù)電阻的串聯(lián)和歐姆定律得出電路中的電流，即可求出水位高度H與電流表示數(shù)I之間的關(guān)系式，進(jìn)一步得出水位為0、水位為$\frac{{h}_{max}}{2}$和水位為h_max時對應(yīng)的電流表指針的位置；
（3）根據(jù)電壓表反映容器中水位的高低的刻度均勻可知滑片的移動不能改變接入電路中的電阻，然后結(jié)合水箱里沒有水時電壓表的示數(shù)為零得出改裝后的電路圖．

解答 解：（1）當(dāng)水位處于最高處時滑片恰好位于a端，接入電路中的電阻為0，電路為R₀的簡單電路，
則電路中電流表的示數(shù)：
I_大=$\frac{U}{{R}_{0}}$=$\frac{12V}{20Ω}$=0.6A；
當(dāng)水位降低時，滑片下移，R接入電路中的電阻增大，電路中的總電阻增大，由I=$\frac{U}{R}$可知，電路中電流表的示數(shù)減��；
（2）水箱里沒有水時，滑片位于b端，圓柱體受力F₁=G，
當(dāng)水位處于最大處h_max時，滑片在a端，圓柱體浸沒，受到的浮力最大為F_浮m，
圓柱體受到的最大浮力：
F_浮m=ρ_水gV_排=ρ_水gS_Ah_A=1.0×10³kg/m³×10N/kg×200×10^-4m²×80×10^-2m=160N，
此時物體受力G=F_浮m+F₂，則F₂=G-F_浮m，
所以，△F=F₁-F₂=F_浮m=160N，即彈簧彈力減小F_浮m=160N，彈簧長度縮短L=0.2m，
當(dāng)水箱中水位為H（0＜H＜h_max）時，彈簧的拉力為F，物體受力G=F_浮+F，彈簧長度相比H=0縮短了△x，
因彈簧伸長的長度x始終與受到的拉力F成正比，且電阻線R的阻值與其長度成正比，
所以，$\frac{{F}_{浮}}{{F}_{浮m}}$=$\frac{G-F}{{F}_{浮m}}$=$\frac{△x}{L}$=$\frac{△R}{{R}_{m}}$，
設(shè)容器中水的深度為H時，物體A浸入的深度為h，
因G-F=F_浮，
所以，$\frac{△R}{{R}_{m}}$F_浮m=ρ_水gS_Ah=ρ_水gS_A（H-△x）=ρ_水gS_A（H-$\frac{△R}{{R}_{m}}$L），
整理可得：△R=$\frac{{ρ}_{水}g{S}_{A}H}{{F}_{浮m}+{ρ}_{水}g{S}_{A}L}$R_m
=$\frac{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×200×1{0}^{-4}{m}^{2}H}{160N+1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg×200×1{0}^{-4}{m}^{2}×0.2m}$×20Ω=20Ω/m×H，
則滑動變阻器接入電路中的電阻：
R=R_m-△R=20Ω-20Ω/m×H，
因串聯(lián)電路中總電阻等于各分電阻之和，
所以，電路中的電流：
I=$\frac{U}{R+{R}_{0}}$=$\frac{12V}{（20Ω-20Ω/m×H）+20Ω}$=$\frac{3V}{10Ω-5Ω/m×H}$，
所以，H=2m-$\frac{0.6}{I}$m•A，
當(dāng)H=0時，I=$\frac{3V}{10Ω-5Ω/m×0}$=0.3A，
當(dāng)H=h_max時，I=0.6A，則h_max=2m-$\frac{0.6}{0.6A}$m•A=1m，
當(dāng)H=$\frac{{h}_{max}}{2}$=$\frac{1m}{2}$=0.5m時，I=$\frac{3V}{10Ω-5Ω/m×0.5m}$=0.4A，
水位為0、水位為$\frac{{h}_{max}}{2}$和水位為h_max時對應(yīng)的電流表指針的位置，如下圖所示：

（3）要使電壓表反映容器中水位的高低的刻度均勻，則電路中的電流不變，即滑片的移動不能改變接入電路中的電阻，同時水箱里沒有水時電壓表的示數(shù)為零，則改裝后的電路圖如下圖所示：

答：（1）0.6A；減小；
（2）水位高度H與電流表示數(shù)I之間的關(guān)系式為H=2m-$\frac{0.6}{I}$m•A；水位為0、水位為$\frac{{h}_{max}}{2}$和水位為h_max時對應(yīng)電流表指針的位置如上圖所示；
（3）改裝后的電路圖如上圖所示．．

點(diǎn)評 本題考查了串聯(lián)電路的特點(diǎn)和歐姆定律、阿基米德原理的應(yīng)用以及電路的動態(tài)分析，正確的得出水位高度H時彈簧縮短長度、彈簧彈力浸沒深度的關(guān)系是關(guān)鍵．