Question

16． 如圖，AB兩地在河岸的一側(cè)，小軍要從A處走到河岸取水然后送到B處，不考慮取水停留的時(shí)間．
（1）若將MN看作一個(gè)平面鏡，請作出從A點(diǎn)射出的一條光線經(jīng)MN反射后恰能通過B點(diǎn)，入射點(diǎn)為O．
（2）為了找到一條最短路線（即從A到河岸和從河岸到B的總路程最短），依（1）作圖入射點(diǎn)O即為最短路線的取水點(diǎn)，請給出證明，即AOB是最短路線．

Answer 1

分析 本題為數(shù)學(xué)上的最短路線問題，由平面鏡的成像特點(diǎn)知，像與物關(guān)于鏡面對稱，且像是由光的反射光線的延長線形成的，作出A點(diǎn)關(guān)于河崖的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，交河崖于點(diǎn)O，即為到河邊取水的地方，再完成路線圖．

解答 解：如圖1所示，做A關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B與河岸相交于點(diǎn)O，則行走的最短路程為由A到O再到B．
若在河岸上任意取一點(diǎn)O′，連接AO′、O′B，如圖2所示．
因?yàn)锳、A′關(guān)于河岸對稱，所以河岸是AA′的垂直平分線，所以O(shè)′A′=O′A，OA′=OA．
則OA+OB=OA′+OB=A′B
O′A+O′B=O′A′+O′B＞A′B（三角形的兩邊之和大于第三邊）
所以O(shè)′A+O′B＞OA+OB
因此，圖1所示的走法路程最短．

點(diǎn)評 此題主要考查了考查了有關(guān)最短路程問題，其中用到了平面鏡成像的特點(diǎn)的知識．本題利用了平面鏡成像的特點(diǎn)作圖．平面鏡成的像與物關(guān)于鏡面對稱．