Question

某工廠設(shè)計了一個蓄水池（如圖所示），水源A罐的夜面高度h₁保持不變．罐底有一個小出水口，面積為S₁．孔下通過一個截面積為S₂活塞與杠桿BC相連．杠桿可繞B端上下轉(zhuǎn)動，另一端有一個中空的圓柱形浮子，橫截面積為S₃，BO是杠桿總長的

1

3

．原設(shè)計打算當(dāng)杠桿水平時，浮子浸入水深為h₂，活塞恰好能賭住出水口，但在使用時發(fā)現(xiàn)，活塞離出水口尚有極小一段距離時，浮子便不再上浮，此時浮子沒入水深為h₃．為了使活塞自動堵住出水口，只得將浮子的重量減去G′．試求浮子應(yīng)減去重量G′的大�。�（活塞及連桿的重量不計，杠桿所受浮力不記．）

Answer 1

分析：（1）活塞上升的高度即為O點上升的距離．杠桿由原來的位置到水平位置，浮子進(jìn)入水中的深度由現(xiàn)在的深度h3上升到設(shè)計的h2，同時O點上升到D點．通過兩次位置的變化，得到一對相似三角形，利用相似形的對應(yīng)邊成比例可以求得OD的長度，即活塞上升的高度．
（2）以傾斜的杠桿為研究對象，分析出對杠桿的向上的作用力和對杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯(lián)系在一起，求得浮子原來的重力．
以水平的杠桿為研究對象，分析出此時對杠桿的向上的作用力和對杠桿向下的作用力，并分別表示出來，利用杠桿的平衡條件將其聯(lián)系在一起，求得浮子現(xiàn)在的重力．
兩次重力之差即為減去的浮子的重力．

解答：解：
設(shè)浮子原來重力為G，杠桿長為l．浮子減重后，重為G′，由傾斜變?yōu)樗�平，如圖所示，杠桿C端上升高度為EC=h₃-h₂，活塞上升的高度△h即為OD的長度，△h=

h3-h2

3

．
    
根據(jù)數(shù)學(xué)知識，三角形BDO相似于三角形BEC，
所以：

DO

EC

=

BO

BC

=

BD

BE

因為BO是杠桿總長

1

3

，
所以：

DO

EC

=

BO

BC

=

BD

BE

=

1

3

，
（2）活塞減重前，杠桿平衡時，支點為B，
以浮子為研究對象，C端受到的合力為F_浮-G=（S₃h₃ρ_水g-G），該力的力臂BE，
O點受到的力為F_壓=ρ_水gS₂（h₁+△h），該力的力臂設(shè)為BD，
根據(jù)杠桿平衡條件可得：（F_浮-G）BE=F_壓BD，
即：（S₃h₃ρ_水g-G）BE=ρ_水gS₂（h₁+△h）BD，

BD

BE

=

1

3

，
可得：3（S₃h₃ρ_水g-G）=ρ_水gS₂（h₁+△h），
G=S₃h₃ρ_水g-

1

3

ρ_水gS₂（h₁+

h3-h2

3

），-------------①
浮子減重后，杠桿平衡時，以杠桿為研究對象，進(jìn)行受力分析：

C端受到的合力為
F′_浮-G′=S₃h₂ρ_水g-G′，此力的力臂為BC，
O點受到的力為F?_壓=ρ_水gS₂h₁，此力的力臂為BO．
根據(jù)杠桿平衡有：（S₃h₂ρ_水g-G′）BC=ρ_水gS₂h₁ BO，
即為：3〔S₃h₂ρ_水g-G′〕=ρ_水gS₂h₁，
G′=S₃h₂ρ_水g-

1

3

ρ_水gS₂h₁-----------②
①-②得浮子應(yīng)減去重量G′的大小：
△G=S₃h₃ρ_水g-

1

3

ρ_水gS₂（h₁+

h3-h2

3

）-（S₃h₂ρ_水g-

1

3

ρ_水gS₂h₁）
=ρ_水g（h₃-h₂）（S₃-

1

9

S₂）
答：浮子應(yīng)減去重量G′的大小為ρ_水g（h₃-h₂）（S₃-

1

9

S₂）．

點評：以杠桿的平衡條件為橋梁，將浮子受到的重力，浮力以及水池內(nèi)水對活塞的壓力聯(lián)系起來，得到關(guān)于這幾個力的方程，然后利用阿基米德原理將浮子受到的浮力表示出來，利用液體壓強(qiáng)的特點和壓力的計算公式將水對活塞的壓力表示出來，即可求出浮子的重力，對浮子和活塞進(jìn)行受力分析是解決此題的關(guān)鍵．