Question

9．漏刻是我國古代一種用滴水來計量時間的儀器．如圖所示是漏刻的簡單模型，圖中容器A是底面積為250cm²的圓柱形薄壁玻璃缸，容器頂蓋上有大小兩個孔；B是用密度為0.7×10³kg/m³塑料制作的邊長為10cm立方體底托；C為質量可忽略不計、總長度為120cm的輕質塑量標尺，標尺的一端與底托相連，標尺上均勻的刻有厘米刻度；D為固定于容器蓋口處的指示箭頭．某次模擬計時實驗中，同學們先將自來水龍頭調至均勻間隙滴水狀態(tài)，并測得水龍頭每分鐘滴水50滴，并用量筒測得每50滴水的體積為25.0cm³．再在容器A中加入適量水，將底托B放入水中，使其浮于水面上，此時標尺C呈豎直狀態(tài)且位于大孔下方，指示箭頭D恰好指于標尺的頂端零刻度處．此時開始滴水計時，假設整個計時過程標尺始終處于豎直狀態(tài)，經過1小時后，問：
（1）指示箭頭D應指在標尺上何處？
（2）此時標尺和底托所受的浮力是多少牛頓？
（3）此裝置最多還能計時幾小時？
（4）若要使此裝置的計時總時間增加一倍，最簡單的辦法是什么？簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³．計算經過1小時后容器A增加的水的體積，然后根據h=$\frac{△V}{S}$求出液面升高的高度即為箭頭D應指在標尺上的位置；
（2）標尺和底托是處于漂浮狀態(tài)的，根據漂浮的條件可知所受的浮力與重力相等，所以根據G=mg=ρVg求出標尺和底托的重力即可；
（3）根據輕質標尺的總長度和容器A的底面積求出計時增加的水的體積，然后根據每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³求出此裝置最多能計時的時間；
（4）因為輕質塑料標尺總長度不變，每分鐘滴水增加的水的體積不變，所以根據t_max=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{△hS}{{{V}^{′}}_{0}}$分析即可．

解答 解：（1）因為每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³．
所以經過1小時后容器A增加的水的體積為：
△V=25.0cm³/min×1×60min=1500cm³=1.5×10^-3m³．
所以水面升高的高度（標尺升高的高度）：
h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{1500c{m}^{3}}{250c{m}^{2}}$=6cm，即箭頭D應指在標尺上的6cm位置；
（2）因為標尺和底托是處于漂浮狀態(tài)的，且標尺C的質量可忽略不計，
所以，根據漂浮條件可得，此時標尺和底托所受的浮力：
F_浮=G_底托=m_底托g=ρ_塑料V_底托g=ρ_塑料（L_底托）³g=0.7×10³kg/m³×（0.1m）³×9.8N/kg=6.86N；
（3）因標尺的總長度為120cm，
此裝置最多能增加的水的體積為：△V_max=250cm²×120cm=30000cm³，
根據每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³可知：
此裝置最多能計時的時間為t_max=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{30000c{m}^{3}}{25c{m}^{3}/min}$=1200min=20h，
所以此裝置最多還能計時為△t=t_max-t=20h-1h=19h；
（4）根據t_max=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{△hS}{{{V}^{′}}_{0}}$分析可知：此裝置的計時總時間要增加一倍，則應將容器A的底面積增加為原來的二倍．
答：（1）箭頭D應指在標尺上的6cm位置；
（2）此時標尺和底托所受的浮力是6.86牛頓；
（3）此裝置最多還能計時19h；
（4）要使此裝置的計時總時間增加一倍，應將容器A的底面積增加為原來的二倍．

點評 本題考查物體的浮沉條件和浮力的計算，關鍵是明確滴水計時器的原理．