Question

1．某同學(xué)將一個(gè)空心金屬球放入一個(gè)足夠大的盛滿水的容器中，當(dāng)球靜止時(shí)，露出水面的體積是總體積的$\frac{1}{3}$；若將球的空心部分注入體積為V₀的水時(shí)，球恰好懸浮在水中，球內(nèi)水的體積是球空心部分體積的$\frac{2}{5}$；將球的空心部分注滿水，球沉入容器底．已知水的密度為ρ₀．求：
（1）金屬的密度；
（2）球注滿水沉底時(shí)，容器底對(duì)金屬球的支持力．

Answer 1

分析 由小球幾次注水時(shí)在水中的狀態(tài)不同，分別由浮沉條件可以得出公式，聯(lián)立可解得壓力和小球的密度．

解答 解：
設(shè)空心球的總體積為V，其實(shí)心部分的體積為V_實(shí)，金屬的密度為ρ，
當(dāng)空心球漂浮時(shí)，露出水面的體積是它體積的$\frac{1}{3}$，
由漂浮條件可得：F_浮=G，
結(jié)合阿基米德原理和重力公式可得：ρ_水g$\frac{2}{3}$V=ρgV_實(shí)-------①
將球的空心部分注入V₀的水時(shí)，球恰好懸浮在水中，
所以有F_浮′=G_總，
即ρ_水gV=ρgV_實(shí)+ρ_水gV₀--------②
由題可知，V₀=$\frac{2}{5}$V_空=$\frac{2}{5}$（V-V_實(shí)）--------③
②式-①式，整理可得V₀=$\frac{1}{3}$V-------④，
把④代入③解得：V_實(shí)=$\frac{1}{6}$V，即V=6V_實(shí)------⑤；
將⑤代入①式，解得：ρ=4ρ_水；
由④⑤可得V_實(shí)=$\frac{1}{2}$V₀-------⑥
當(dāng)將球的空心部分注滿水沉入容器底時(shí)，設(shè)容器對(duì)球的支持力為N，
則有F_浮′+N=G_總′，
即ρ_水gV+N=ρgV_實(shí)+ρ_水g（V-V_實(shí)）------⑦；
將V=6V_實(shí)代入⑦得，ρ_水g6V_實(shí)+N=ρgV_實(shí)+ρ_水g（6V_實(shí)-V_實(shí)）；
則N=ρgV_實(shí)+ρ_水g（6V_實(shí)-V_實(shí)）-ρ_水g6V_實(shí)
=ρgV_實(shí)-ρ_水gV_實(shí)
=4ρ_水gV_實(shí)-ρ_水gV_實(shí)
=3ρ_水gV_實(shí)
=3ρ_水g×$\frac{1}{2}$V₀
=1.5ρ_水gV₀．
答：（1）金屬的密度是4ρ_水；
（2）球注滿水沉底時(shí)，容器底對(duì)金屬球的支持力1.5ρ_水gV₀．

點(diǎn)評(píng) 本題告訴了三種受浮力的情況，故可通過方程組的形式求解．