Question

15．在生產(chǎn)玻璃過程中，常用位于天車上的卷揚機（其內(nèi)部有電動機提供動力）通過滑輪組和真空吸盤提升玻璃，如圖甲所示．當(dāng)卷揚機通過滑輪組提升質(zhì)量為60kg的玻璃并使玻璃以速度v₁勻速上升時，卷揚對滑輪組繩端的拉力為F₁，天車對卷揚機的支持力為N₁，拉力為F₁的功率為P₁，滑輪組的機械效率為η；當(dāng)卷揚機通過滑輪組提升質(zhì)量為80kg的玻璃并使玻璃以速度v₂勻速上升時，卷揚機對滑輪組的拉力F₂，天車對卷揚機的支持力為N₂．拉力為F₂的功率為P₂，已知拉力F₁所做功隨時間變化的圖象如圖乙所示，卷揚機的質(zhì)量為120kg，滑輪A、B的質(zhì)量均為4kg，3v₁=5v₂，η=75%，吸盤和繩的質(zhì)量及滑輪與軸的摩擦均可忽略不計，g取10N/kg．求：
（1）卷揚機通過滑輪組提升質(zhì)量為60kg的玻璃，2s內(nèi)做多少功？
（2）卷揚機通過滑輪組提升質(zhì)量為60kg的玻璃過程中，卷揚機做功的功率．
（3）卷揚機通過換輪組提升質(zhì)量為60kg的玻璃過程中，有用功的功率
（4）v₁的大小
（5）P₂的功率
（6）滑輪C的質(zhì)量
（7）F₁的大小
（8）F₁與F₂的比值
（9）N₁的大小
（10）N₁與N₂的比值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象讀出F₁ 所做的功和做功時間
（2）根據(jù)公式P=$\frac{W}{t}$，求出F₁的功率；
（3）已知第一次提升的玻璃m₁=60kg，η=75%，根據(jù)公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{P}_{有用}t}{{P}_{總}t}$=$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{總}}$可求得有用功的功率
（4）根據(jù)$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{總}}$=$\frac{{m}_{1}g{v}_{1}}{{P}_{總}}$求出v₁，
（5）根據(jù)3v₁=5v₂，求出v₂；根據(jù)受力分析圖求得F2，根據(jù)P=Fv求得P₂的功率；
（6）設(shè)動滑輪C所受重力為G₀，根據(jù)η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=75%，可求得滑輪C的質(zhì)量；
（7）畫出受力分析圖，根據(jù)力的合成可求得F₁和F₂的大小；
（8）根據(jù)（7）和（8）求得F₁和F₂的數(shù)值，可求得F₁與F₂的比值；
（9）F′₁=F₁，由圖中的（3）可得N₁=F′₁+mg，可求得；
（10）首先對提升玻璃過程中，玻璃、動滑輪C、動滑輪B和卷揚機進行受力分析，根據(jù)滑輪組的特點求出天車對卷揚機的支持力N₁和N₂的值，進而求出N₁與N₂的比值．

解答 解：（1）由題中W-t圖象可知拉力F₁所做功W_總=960J，做功時間t=2s，
（2）所以拉力F₁所做功的功率P=$\frac{{W}_{總}}{t}$=$\frac{960J}{2s}$=480W；
（3）已知第一次提升的玻璃m₁=60kg，η=75%，
根據(jù)公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{P}_{有用}t}{{P}_{總}t}$=$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{總}}$=$\frac{{P}_{有用}}{480W}$=75%，
解得P_有用=360W，
（4）根據(jù)公式η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{P}_{有用}t}{{P}_{總}t}$=$\frac{{P}_{有用}}{{P}_{總}}$=$\frac{{P}_{有用}}{480W}$=$\frac{{m}_{1}g{v}_{1}}{480W}$=75%，
解得：v₁=0.6m/s，
（5）因為3v₁=5v₂，所以：v₂=$\frac{3}{5}$v₁=$\frac{3}{5}$×0.6m/s=0.36m/s；
由右圖可得F₂=$\frac{1}{2}$（T′₂+m_Bg）=$\frac{1}{2}$（$\frac{880}{3}$N+4kg×10N/kg）=$\frac{500}{3}$N，
則P₂的功率P₂=F₂v₂=$\frac{500}{3}$N×0.36m/s=60W，
（6）設(shè)動滑輪C所受重力為G₀，滑輪B的m_B=4kg，卷揚機提升m₁=60kg玻璃時，滑輪組的機械效率為η=75%
所以有η=$\frac{{W}_{有用}}{{W}_{總}}$=$\frac{{m}_{1}g}{{m}_{1}g+{G}_{0}+3{m}_{B}g}$=$\frac{60kg×10N/kg}{60kg×10N/kg+{G}_{0}+3×4kg×10N/kg}$=75%，解得G₀=80N；
（7）第一次提升m₁=60kg玻璃的過程中，玻璃、動滑輪C受力分析如右圖（1）所示，動滑輪B受力分析如右圖（8）所示，卷揚機受力分析如右圖（3）所示；
第二次提升m₂=80kg玻璃的過程中，玻璃、動滑輪C受力分析如右圖（4）所示，動滑輪B受力分析如右圖（5）所示，卷揚機受力分析如右圖（6）所示；
（8）由右圖（1）的受力分析可知T₁$\frac{1}{3}$（m₁g+G₀）=$\frac{1}{3}$（60kg×10N/kg+80N）=$\frac{680N}{3}$N，
因T′₁=T₁，由右圖（2）可得F₁=$\frac{1}{2}$（T′₁+m_Bg）=$\frac{1}{2}$（$\frac{680}{3}$N+4kg×10N/kg）=$\frac{400}{3}$N，
同理，由右圖（4）可得T₂=$\frac{1}{3}$（m₂g+G₀）=$\frac{1}{3}$（80kg×10N/kg+80N）=$\frac{880N}{3}$N，
因T′₂=T₂，由右圖（5）可得F₂=$\frac{1}{2}$（T′₂+m_Bg）=$\frac{1}{2}$（$\frac{880}{3}$N+4kg×10N/kg）=$\frac{500}{3}$N，
則$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{\frac{400}{3}N}{\frac{500}{3}N}$=$\frac{4}{5}$，
（9）因F′₁=F₁，由右圖（3）可得N₁=F′₁+mg=$\frac{400}{3}$N+120kg×10N/kg=$\frac{4000}{3}$N，
（10）因F′₂=F₂，由右圖（6）可得N₂=F′₂+mg=$\frac{500}{3}$N+120kg×10N/kg=$\frac{4100}{3}$N；
所以$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}$=$\frac{\frac{400}{3}N}{\frac{4100}{3}N}$=$\frac{40}{41}$．
答：（1）卷揚機通過滑輪組提升質(zhì)量為60kg的玻璃，2s內(nèi)做960J功；
（2）卷揚機通過滑輪組提升質(zhì)量為60kg的玻璃過程中，卷揚機做功的功率為480W．
（3）卷揚機通過換輪組提升質(zhì)量為60kg的玻璃過程中，有用功的功率為360W
（4）v₁的大小為0.6m/s；
（5）P₂的功率為60W；
（6）滑輪C的質(zhì)量為80N；
（7）F₁的大小為$\frac{400N}{3}$
（8）F₁與F₂的比值為4：5；
（9）N₁的大小為$\frac{4000N}{3}$
（10）N₁與N₂的比值為40：41．

點評 本題為力學(xué)綜合題，要求靈活利用所學(xué)知識、選用所學(xué)公式，利用好滑輪組的特點，能從圖象得出相關(guān)信息是本題的關(guān)鍵，難題！