Question

我校高中部建筑工地運(yùn)來一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體重物箱，某工人欲用一根粗細(xì)均勻的鐵棒把重物箱撬起一個(gè)很小的角度（如圖所示，圖中的角度已被放大）．已知：鐵棒單位長(zhǎng)度受到的重力為P；重物箱受到的重力為G（重物箱的密度均勻）．工人將鐵棒的一端插入箱底，在另一端施加一個(gè)向上的力撬動(dòng)重物箱．如果插入的長(zhǎng)度為箱寬的四分之一，并保持該長(zhǎng)度不變，請(qǐng)你通過計(jì)算幫他分析，當(dāng)選用的鐵棒長(zhǎng)度滿足什么條件時(shí)，施加的力最��？這個(gè)最小的力是多少？

Answer 1

設(shè)鐵棒長(zhǎng)為L(zhǎng)，動(dòng)力為F．由題可知鐵棒的重力提供的阻力，作用點(diǎn)在鐵棒的重心上，阻力臂為

L

2

；因重物箱的密度均勻且鐵棒插入的長(zhǎng)度為箱寬的四分之一，則重物的一半重力提供阻力（即只有一半的重力壓在杠桿上），阻力臂為

a

4

；力F提供動(dòng)力，動(dòng)力臂為L(zhǎng)．由杠桿的平衡條件得
F₁L₁=F₂L₂
 

a

4

?

G

2

+LP?

L

2

=LF
解得人對(duì)杠桿的力F=

aG 8 + pL2 2

L

=

aG

8L

+

p

2

L
由數(shù)學(xué)知識(shí)a²+b²≥2ab，當(dāng)a=b時(shí)取最小值，可得
當(dāng)

aG

8L

=

P

2

L時(shí)，即L=

1

2

aG p

時(shí)F有最小值．
F的最小值為：F=

1

2

aGP

．
答：當(dāng)選用的鐵棒長(zhǎng)度為L=

1

2

aG P

時(shí)，施加的力最小；這個(gè)最小的力是F=

1

2

aGP

．