Question

【題目】如圖所示，輕質(zhì)桿可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。分別將質(zhì)量相同的純金塊、純銀塊、金銀制作的王冠懸掛于桿的最左端并浸沒(méi)水中，將質(zhì)量與王冠相同的重物對(duì)應(yīng)地懸掛在桿上的A、B、C處（圖中未標(biāo)出），桿恰好在水平位置平衡。測(cè)得A、C兩點(diǎn)間的距離為7cm，B、C兩點(diǎn)間的距離為3cm。則王冠中金和銀的質(zhì)量比為（　�。�

A. 3：7 B. 7：3 C. 2：5 D. 5：2

Answer 1

【答案】A

【解析】

先利用V＝ 判斷三者體積關(guān)系，根據(jù)阿基米德原理和杠桿平衡條件可得出重物對(duì)應(yīng)地懸掛在桿上的A、B、C的位置，然后分別列出三者懸掛于桿的最左端并浸沒(méi)水中時(shí)的等量關(guān)系式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)將這三個(gè)方程進(jìn)行整理即可得出王冠中金和銀的質(zhì)量之比。

設(shè)純金塊、純銀塊、金銀制作的王冠以及重物的質(zhì)量為m，

純金塊、純銀塊、金銀制作的王冠的密度分別為ρ1、ρ2、ρ3，體積分別為V1、V2、V3，

由于ρ1＞ρ3＞ρ2，根據(jù)V＝ 可知，三者的體積關(guān)系：V1＜V3＜V2，

浸沒(méi)在水中時(shí)，三者排開(kāi)水的體積與各自的體積相等，

根據(jù)F浮＝ρ水gV排可知，三者的浮力關(guān)系：F浮1＜F浮3＜F浮2，

當(dāng)質(zhì)量相同（重力相同）的純金塊、純銀塊、金銀制作的王冠懸掛于桿的最左端并分別浸沒(méi)水中時(shí)，桿的最左端受到的拉力：F拉＝G﹣F浮，由于F浮1＜F浮3＜F浮2，則F拉1＞F拉3＞F拉2，且左邊拉力的力臂相同，

根據(jù)杠桿平衡條件可知，相同的重物對(duì)應(yīng)地懸掛在桿上的A、B、C處，如下圖所示：

根據(jù)阿基米德原理和杠桿平衡條件得，當(dāng)純金塊懸掛于桿的最左端并浸沒(méi)水中時(shí)有：

（mg﹣ρ水gV1）LOD＝mg（LOB+LBC+LAC）﹣﹣﹣﹣﹣①

當(dāng)純銀塊懸掛于桿的最左端并浸沒(méi)水中時(shí)有：

（mg﹣ρ水gV2）LOD＝mgLOB ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

當(dāng)金銀制作的王冠懸掛于桿的最左端并浸沒(méi)水中時(shí)有：

（mg﹣ρ水gV3）LOD＝mg（LOB+LBC）﹣﹣﹣﹣﹣﹣③

用①﹣②得，（ρ水gV2﹣ρ水gV1）LOD＝mg（LBC+LAC）﹣﹣﹣﹣﹣﹣④

用③﹣②得，（ρ水gV2﹣ρ水gV3）LOD＝mgLBC﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤

用④÷⑤得， ＝ ＝ ＝ ，

化簡(jiǎn)整理得，10V3﹣3V1﹣7V2＝0﹣﹣﹣﹣﹣⑥

設(shè)王冠中金和銀的質(zhì)量分別為m1、m2，

則王冠的體積：V3＝ + ﹣﹣﹣﹣﹣⑦

純金塊的體積：V1＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑧

純銀快的體積：V2＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑨

將⑦⑧⑨代入⑥整理得，+＝0，

由于ρ1＞ρ2＞0，所以，10m1﹣3m＝0；10m2﹣7m＝0；

解得：m1＝m；m2＝m；

則王冠中金和銀的質(zhì)量之比：

m1：m2＝m：m＝3：7。

故選：A。