Question

小明同學(xué)將彈簧測力計下懸掛一均勻?qū)嵭慕饘賵A柱體，再將圓柱體浸在液體中，分別研究彈簧測力計示數(shù)與液體密度、物體在液體中深度的關(guān)系．實驗時，他把圓柱體浸沒在不同液體中，分別記下了彈簧測力計的示數(shù)，測得實驗數(shù)據(jù)如表1．然后把圓柱體浸在同種液體中，通過改變液面到圓柱體底部的距離，記下彈簧測力計的示數(shù)，測得實驗數(shù)據(jù)如表2．
表1：

液體ρ（103體千克/米3）	1.2	1.8	2.0	2.2	2.4	2.5
彈簧測力計示數(shù)F（牛）	7.5	4.5		2.5	1.5	1.0

表2：

液面到金屬塊底部距離h（米）	0	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
彈簧測力計示數(shù)F（牛）		11.1	9.9	8.7	7.5	7.5

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，回答下列問題．
（1）根據(jù)表1、表2中的實驗數(shù)據(jù)，請通過計算，分析完成表1和表2中的空格填寫．
（2）在圖1中，能正確反映表1中彈簧測力計示數(shù)與液體密度之間關(guān)系是圖1中的

A

．
（3）這只掛有金屬圓柱體的彈簧測力計可改裝為一只密度計．請在圖2中標(biāo)出該密度計的零刻度位置．其分度值為

100kg/m³

．
（4）該金屬體的底面積為多少平方米？（要求寫出完整的解答過程）
（5）在研究彈簧測力計示數(shù)與液體密度關(guān)系時，不液體密度為3.0×10³×kg/m³時，測得彈簧測力計的示數(shù)為0，請說明產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因：

圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態(tài)

．
（6）表2中液體的密度為：

1.2×10³kg/m³

．
（7）通過分析表2，是否能得出：反映彈簧測力計示數(shù)與金屬塊浸在液體中體積之間的規(guī)律？若能，可能用什么表達(dá)式來表達(dá)？若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圓柱體的重力和測力計的示數(shù)可以表示出圓柱體浸入液體中受到的浮力；同時用阿基米德原理表示出其在同一種液體中受到的浮力，兩個浮力相等，即可得到物體的重力和體積的關(guān)系式．從此入手可以求出圓柱體的重力和體積．
進(jìn)而利用阿基米德原理結(jié)合第三種液體的密度圓柱體在其中受到的浮力，從而可以求出此時測力計的示數(shù)．
（2）根據(jù)阿基米德原理可以確定在排開液體體積不變的情況下，物體受到的浮力與所在液體的密度的關(guān)系，進(jìn)而確定圖象．
（3）當(dāng)圓柱體沒有浸入液體中時，此時測力計的指針對應(yīng)的位置為改制成的密度計的零刻度值．由此即可確定其零刻度的位置．
密度計的分度值是由測力計的分度值來決定的，即當(dāng)物體受到的浮力 變化為測力計的分度值（0.5N）時，求出圓柱體所在的液體的液體密度的變化值即為分度值．
（4）利用表2中的數(shù)據(jù)，結(jié)合圓柱體的重力和體積，利用阿基米德原理求出所在液體的密度；然后利用圓柱體浸入某一深度時受到的浮力，利用阿基米德原理求出此時圓柱體排開的液體體積，再利用柱體的體積計算公式求出其橫截面積．
（5）測力計的示數(shù)為零，說明此時物體受到的浮力與重力相等，即，物體處于漂浮或懸浮狀態(tài)．由此即可確定物體的密度與所在液體密度的大小關(guān)系．
（6）在第四問中已解決．
（7）將測力計的示數(shù)表示出來即可．

解答：解：（1）設(shè)圓柱體的體積為V，受到的重力為G．
圓柱體在第一種液體中受到的浮力：F₁=G-7.5N，可以用阿基米德原理表示為：F₁=ρ₁gV，兩者聯(lián)立得：G-7.5N=ρ₁gV    ①，
圓柱體浸沒在第二種液體中時，同理可得：G-4.5N=ρ₂gV    ②
將表1中的液體密度代入得：G-7.5N=1.2×10³kg/m³×10N/kg×V   ③
G-4.5N=1.8×10³kg/m³×10N/kg×V  ④
解得：G=13.5N，V=5×10^-4m³．
當(dāng)物體浸沒在第三種液體中時，圓柱體受到的浮力：F₃=ρ₃gV=2×10³kg/m³×10N/kg×5×10^-4m³=10N．
此時測力計的示數(shù)為：F=G-F₃=13.5N-10N=3.5N．
在表格2中，當(dāng)圓柱體的下表面據(jù)液面的距離為零時，此時物體不受浮力，此時測力計的示數(shù)等于物體的重力為13.5N．
在表格2中，當(dāng)圓柱體的下表面據(jù)液面的距離從0.5m開始，圓柱體浸沒入液體中，所以其在為0.7m時所受的浮力與在0.5m時相同，故測力計的示數(shù)不變?nèi)詾?.5N．7．
（2）在物體排開液體的體積不變時，根據(jù)阿基米德原理可知，物體受到的浮力與所在液體的密度成正比，而浮力越大，彈簧測力計的示數(shù)F就越小，且過原點．故其圖象應(yīng)該選A．
（3）當(dāng)圓柱體沒有進(jìn)入液體中時，此時測力計的指針對應(yīng)的刻度是改制成的密度計的零刻度．由于圓柱體沒有浸入液體中，所以其不受浮力，此時圓柱體對測力計的拉力就等于圓柱體的重力，故為13.5N，所以測力計上刻度為13.5N對應(yīng)的位置為密度計的零刻度值．答案如圖所示．
測力計上的最小刻度值對應(yīng)著改制成的密度計的分度值．由于圓柱體浸沒在液體中，所以其排開的液體的體積不變，其受到的浮力變化是由液體的密度變化引起的．由此可以確定當(dāng)浮力變化值最小為0.5N（測力計的分度值）時對應(yīng)的是液體密度的變化的最小值，即分度值．
即：0.5N=ρ_分gV=ρ_分×10N/kg×5×10^-4m³，
解得：ρ_分=100kg/m³．

（4）根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)液面到金屬塊底部距離h為0.5米時，隨著h的增大，測力計的示數(shù)為7.5N不再變化，所以此時的圓柱體已經(jīng)浸沒如液體中，即V_排=V．
浸沒時圓柱體受到的浮力：F=G-7.5N=13.5N-7.5N=6N，再結(jié)合圓柱體的體積V=5×10^-4m³．
利用阿基米德原理可以求出液體的密度：ρ=

F

gV

=

6N

10N/kg×5×10-4m3

=1.2×10³kg/m³；
當(dāng)圓柱體第一次浸入液體中，液面到金屬塊底部距離h=0.2米時，受到的浮力為：F′=G-11.1N=13.5N-11.1N=2.4N．
此時物體排開液體體積為：V′=

F′

ρg

=

2.4N

1.2×103kg/m3×10N/kg

=2×10^-4m³，
結(jié)合圓柱體浸入液體中的深度h=0.2m，由此可以求得圓柱體的橫截面積：S=

V′

h

=

2× 10-4m3

0.2m

=1×10^-3m²．
（5）根據(jù)圓柱體的重力和體積可以求得圓柱體的密度：ρ=

G

gv

=

13.5N

10N/kg×5×10-4m3

=2.7×10³kg/m³；
當(dāng)液體密度為3.0×10³×kg/m³時，此時圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態(tài)，故測力計的示數(shù)為零．
（6）在第四問中求得液體密度為：1.2×10³kg/m³；
（7）根據(jù)阿基米德原理可以得到物體受到的浮力與物體浸入液體中體積的關(guān)系：F_浮=ρgV_排，
測力計的示數(shù)F_拉=G-F_浮=G-ρgV_排=13.5N-1.2×10³kg/m³×10N/kg×V_排（V_排＜5×10^-4m³）
故答案為：（1）3.5；13.5；7.5；（2）A；（3）圖見上圖；100kg/m³；（4）1×10^-3m²．（5）圓柱體的密度小于所在液體的密度，所以圓柱體處于漂浮狀態(tài)；（6）1.2×10³kg/m³；
（7）F_拉=13.5N-1.2×10³kg/m³×10N/kg×V_排（V_排＜5×10^-4m³）

點評：此題的綜合性非常強，主要針對浮力的計算進(jìn)行了考查．其中對于阿基米德原理進(jìn)行了反復(fù)考查．
將表格中的數(shù)據(jù)與操作過程對應(yīng)起來是此題的難點