【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁<x₂,則

f(x₁)-f(x₂)= --a(x₁-x₂)

=-a(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(-a).

(1)當(dāng)a≥1時(shí),∵<1,

又∵x₁-x₂<0,

∴f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

∴a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，在區(qū)間［0，+∞)上存在x₁=0,x₂=,滿足f(x₁)=f(x₂)=1,

∴0<a<1時(shí)，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評(píng)注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過(guò)程中<1利用了>|x₁|≥x₁, >x₂這個(gè)結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時(shí)f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的體現(xiàn).