如圖，在△ABC中，AC=8cm，BC=16cm，點P從點A出發(fā)，沿著AC邊向點C以1cm/s的速度運動，點Q從點C出發(fā)，沿著CB邊向點B以2cm/s的速度運動，如果P與Q同時出發(fā)，經過幾秒△PQC和△ABC相似？

四邊形ABCD中,點E是AB的中點,F是AD邊上的動點．連結DE、CF．
（1）若四邊形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如圖（1）所示．

①請直接寫出AE的長度;
②當DE⊥CF時,試求出CF長度．
（2）如圖（2）,若四邊形ABCD是平行四邊形,DE與CF相交于點P．
探究：當∠B與∠PC滿足什么關系時,成立？并證明你的結論．

如圖,網格圖的每個小正方形邊長均為1．△OAB的頂點均在格點上．已知△與△OAB是以O為位似中心的位似圖形,且位似比為1︰3．

（1）請在第一象限內畫出△;
（2）試求出△的面積．

如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AC⊥BC．

（1）求證:△ADC∽△BCA；
（2）若AB=9cm,AC=6cm,求梯形ABCD中位線的長度．

如圖,△ABC與△A′B′C′是位似圖形,且頂點都在格點上,每個小正方形的邊長都為1.

（1）在圖上標出位似中心D的位置,并寫出該位似中心D的坐標是               ；
（2）求△ABC與△A′B′C′的面積比．

（1）如圖1,在等邊△ABC中,點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C）,聯(lián)結AM,以AM為邊作等邊△AMN,聯(lián)結CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】
（2）如圖2,在等邊△ABC中,點M是邊BC延長線上的任意一點（不含端點C）,其它條件不變,（1）中結論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】
（3）如圖3,在等腰△ABC中,BA=BC,點M是邊BC上的任意一點（不含端點B、C）,聯(lián)結AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角∠AMN=∠ABC．聯(lián)結CN．試探究∠ABC與∠ACN的數量關系,并說明理由．

理解與應用
小明在學習相似三角形時,在北京市義務教育課程改革實驗教材第17冊書,第37頁遇到這樣一道題：

如圖1,在△ABC中,P是邊AB上的一點,聯(lián)結CP.
要使△ACP∽△ABC,還需要補充的一個條件是____________,或_________.
請回答：
（1）小明補充的條件是____________________,或_________________.
（2）請你參考上面的圖形和結論,探究、解答下面的問題：
如圖2,在△ABC中,∠A=60°,AC²= AB²+AB.BC.求∠B的度數．

如圖,在中,,,于.求證：．

把兩個直角三角形如圖(1)放置,使∠ACB與∠DCE重合,AB與DE相交于點O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm．
（1）圖1中線段AO的長=          cm；DO=         cm

圖1
（2）如圖2,把△DCE繞著點C逆時針旋轉α度（0°＜α＜90°）得△D₁CE₁,D₁C與AB相交于點F,若△BCE₁恰好是以BC為底邊的等腰三角形,求線段AF的長．
 
圖2

如圖，在△中，，平分∠，∥．求證：．