如圖，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．設(shè)P、Q分別為BD、BC上的動點，在點P自點D沿DB方向作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，移動的速度均為1 cm/s，設(shè)P、Q移動的時間為t(0＜t≤4)．

(1)寫出△PBQ的面積S(cm²)與時間t(s)之間的函數(shù)表達式，當(dāng)t為何值時，S有最大值？最大值是多少？

(2)當(dāng)t為何值時，△PBQ為等腰三角形？

(3)△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說明理由．

已知正方形ABCD．

(1)如圖，E是AD上一點，過BE上一點O作BE的垂線，交AB于點G，交CD于點H，求證：BE＝GH；

(2)如圖，過正方形ABCD內(nèi)任意一點作兩條互相垂直的直線，分別交AD、BC于點E、F，交AB、CD于點G、H，EF與GH相等嗎？請寫出你的結(jié)論；

(3)當(dāng)點O在正方形ABCD的邊上或外部時，過點O作兩條互相垂直的直線，被正方形相對的兩邊(或它們的延長線)截得的兩條線段還相等嗎？其中一種情形如圖所示，過正方形ABCD外一點O作互相垂直的兩條直線m、n，m與AD、BC的延長線分別交于點E、F，n與AB、DC的延長線分別交于點G、H，試就該圖對你的結(jié)論加以證明．

如下圖，二次函數(shù)y＝x²＋px＋q(p＜0)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C(0，－1)，△ABC的面積為．

(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)過y軸上的一點M(0，m)作y軸上午垂線，若該垂線與△ABC的外接圓有公共點，求m的取值范圍；

(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點M，N．

當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(如下圖)，易證BM＋DN＝MN．

(1)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(如下圖)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．

(2)當(dāng)∠MAN繞點A旋轉(zhuǎn)到如下圖的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

我們所學(xué)的幾何知識可以理解為對“構(gòu)圖”的研究：根據(jù)給定的(或構(gòu)造的)幾何圖形提出相關(guān)的概念和問題(或者根據(jù)問題構(gòu)造圖形)，并加以研究．

例如：在平面上根據(jù)兩條直線的各種構(gòu)圖，可以提出“兩條直線平行”、“兩條直線相交”的概念；若增加第三條直線，則可以提出并研究“兩條直線平行的判定和性質(zhì)”等問題(包括研究的思想和方法)．

請你用上面的思想和方法對下面關(guān)于圓的問題進行研究：

(1)如圖，在圓O所在平面上，放置一條直線m(m和圓O分別交于點A、B)，根據(jù)這個圖形可以提出的概念或問題有哪些(直接寫出兩個即可)？

(2)如圖，在圓O所在平面上，請你放置與圓O都相交且不同時經(jīng)過圓心的兩條直線m和n(m與圓O分別交于點A、B，n與圓O分別交于點C、D)．

請你根據(jù)所構(gòu)造的圖形提出一個結(jié)論，并證明之．

(3)如圖，其中AB是圓O的直徑，AC是弦，D是的中點，弦DE⊥AB于點F．請找出點C和點E重合的條件，并說明理由．

如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點(不與B，C重合)，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．

(1)求證：；

(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；

(3)當(dāng)AB＝AC時，△FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由．

如圖①，△ABC內(nèi)接于⊙O，點P是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，AP交邊BC于點D，交⊙O于點E，經(jīng)過點E作⊙O的切線分別交AB、AC延長線于點F、G．

(1)求證：BC∥FG；

(2)探究：PE與DE和AE之間的關(guān)系；

(3)當(dāng)圖①中的FE＝AB時，如圖②，若FB＝3，CG＝2，求AG的長．

如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、C和點B(－1，0)．

(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點為M，求四邊形AOCM的面積；

(3)有兩動點D、E同時從點O出發(fā)，其中點D以每秒個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當(dāng)D、E兩點相遇時，它們都停止運動．設(shè)D、E同時從點O出發(fā)t秒時，△ODE的面積為S．

①請問D、E兩點在運動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

②請求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設(shè)S₀是②中函數(shù)S的最大值，那么S₀＝________．

如圖，正方形ABCD的邊長為3a，兩動點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動，與△BCF相應(yīng)的△EGH在運動過程中始終保持△EGH≌△BCF，對應(yīng)邊EG＝BC，B、E、C、G在一直線上．

(1)若BE＝a，求DH的長；

(2)當(dāng)E點在BC邊上的什么位置時，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值．

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝2 cm，AD＝BC＝6 cm，M、N為同時從A點出發(fā)的兩個動點，點M沿A→D→C→B的方向運動，速度為2 cm/秒；點N沿A→B的方向運動，速度為1 cm/秒．當(dāng)M、N其中一點到達B點時，點M、N運動停止．設(shè)點M、N的運動時間為x秒，以點A、M、N為頂點的三角形的面積為ycm²．

(1)試求出當(dāng)0＜x＜3時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)試求出當(dāng)4＜x＜7時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)3＜x＜4時，以A、M、N為頂點的三角形與以B、M、N為頂點的三角形是否有可能相似？若相似，試求出x的值．若不相似，試說明理由．