（1）如圖1，已知正方形ABCD，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，G是AB上一點(diǎn)，H是CD上一點(diǎn)，線段EF、GH交于點(diǎn)O，∠EOH=∠C，求證：EF=GH；
（2）如圖2，若將“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明；
（3）如圖3，若將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明；

附加題：根據(jù)前面的探究，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣命題，畫出圖形，并證明，若不能，說(shuō)明理由．

如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．
（1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；
（2）求BP：PQ：QR．

已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°，
（1）如圖1，E為AB上任意一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，則有AD∥BC；
（2）若將等腰Rt△ABC改為正△ABC，如圖2所示，E為AB邊上任一點(diǎn)，△CDE為正三角形，連接AD，上述結(jié)論還成立嗎？答______；
（3）若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，如圖3，E為AB上任一點(diǎn)，△DEC∽△ABC，連接AD，請(qǐng)問(wèn)AD與BC的位置關(guān)系怎樣？答：______．
請(qǐng)你在上述3個(gè)結(jié)論中，任選一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明．

在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以點(diǎn)O為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線段的比為k，并且原多邊形上的任一點(diǎn)P，它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′在線段OP或其延長(zhǎng)線上；接著將所得多邊形以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ，這種經(jīng)過(guò)和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為O（k，θ），其中點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋轉(zhuǎn)角．
（1）填空：
①如圖1，將△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來(lái)的2倍，再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ADE，這個(gè)旋轉(zhuǎn)相似變換記為A（______，______）；
②如圖2，△ABC是邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換A（，90°），得到△ADE，則線段BD的長(zhǎng)為______cm；
（2）如圖3，分別以銳角三角形ABC的三邊AB，BC，CA為邊向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，點(diǎn)O₁，O₂，O₃分別是這三個(gè)正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，試分別利用△AO₁O₃與△ABI，△CIB與△CAO₂之間的關(guān)系，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識(shí)說(shuō)明線段O₁O₃與AO₂之間的關(guān)系．

（北師大版）已知：將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖1擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)．將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H．
（1）當(dāng)α=30°時(shí)（如圖2），求證：AG=DH；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)（如圖3），（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖④說(shuō)明理由．

如圖，在?ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點(diǎn)E、F，AE、BF相交于點(diǎn)M．
（1）試說(shuō)明：AE⊥BF；
（2）判斷線段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說(shuō)明．

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D，E在直線BC上運(yùn)動(dòng)．設(shè)BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，當(dāng)α，β滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立？試說(shuō)明理由．

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ．此時(shí)，AP•CQ=______；
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問(wèn)AP•CQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由；
（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）

（1）如圖1所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE，求證：AE∥BC；
（2）如圖2所示，將（1）中等邊△ABC的形狀改成以BC為底邊的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，請(qǐng)問(wèn)仍有AE∥BC？證明你的結(jié)論．

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點(diǎn)．圖1，2，3是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況．
研究：
（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖2加以證明；
（2）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB上的M處，且AM：MB=1：3，和前面一樣操作，試問(wèn)線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖4加以證明．