如圖，在梯形中,，已知，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為圓心，為半徑的⊙分別交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn),交射線于，連接.
 
（1）求的長(zhǎng).
（2）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng).
（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①當(dāng)時(shí)，求⊙的半徑.
②當(dāng)時(shí)，求⊙的半徑（直接寫(xiě)出答案）.

如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，AD⊥CD于點(diǎn)D．

（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AB=4，∠ABE=60°．
①求AD的長(zhǎng)；
②求出圖中陰影部分的面積.

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是弧AB的三等分點(diǎn)，當(dāng)AD=5時(shí)，求BF的長(zhǎng)．

在半徑為4的⊙O中，點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓的中點(diǎn)，OD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E是射線AB上的任意一點(diǎn)，DF//AB，DF與CE相交于點(diǎn)F，設(shè)EF=，DF=．
(1) 如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在射線OB上時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

(2) 如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在⊙O上時(shí)，求線段DF的長(zhǎng)；
   
(3) 如果以點(diǎn)E為圓心、EF為半徑的圓與⊙O相切，求線段DF的長(zhǎng)．

如圖，AB為量角器（半圓O）的直徑，等腰直角△BCD的斜邊BD交量角器邊緣于點(diǎn)G，直角邊CD切量角器于讀數(shù)為60°的點(diǎn)E處（即弧AE的度數(shù)為60°），第三邊交量角器邊緣于點(diǎn)F處．
 
（1）求量角器在點(diǎn)G處的讀數(shù)α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB=10cm，求陰影部分面積．

已知：如圖，中，，以為直徑的⊙O交于點(diǎn)，于點(diǎn)．

（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若AB="2" ，∠CAB=120°，求 BC的值．

如圖，AB是⊙O的弦，D是半徑OA的中點(diǎn)，過(guò)D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E，交⊙O于F，且CE=CB.

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）連接AF、BF，求∠ABF的度數(shù)；
（3）如果CD=15，BE=10，sin A=，求⊙O的半徑.

如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長(zhǎng)．

如圖，⊙O的半徑為l，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），∠CAB＝90°，AC＝AB，頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)．

(1)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸的負(fù)半軸上時(shí)，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)當(dāng)直線AB與⊙O相切時(shí)，求AB所在直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．

如圖，A，B是⊙O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P不與A，B重合），我們稱(chēng)∠APB是⊙O上關(guān)于A、B的滑動(dòng)角

（1）已知∠APB是⊙O上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，
①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=      °；
②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數(shù)；
（2）已知O₂是⊙O₁外一點(diǎn)，以O(shè)₂為圓心作一個(gè)圓與⊙O₁相交于A、B兩點(diǎn)，∠APB是⊙O₁上關(guān)于點(diǎn)A、B的滑動(dòng)角，直線PA、PB分別交⊙O₂于M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論．